[AGC032D] Rotation Sort 题解

[AGC032D] Rotation Sort 题解

把循环移位看作是将某个数向左或右插入到任意位置，显然一个数最多被移动一次。

那么该序列中一共有三种数：

1. 向左移动
2. 向右移动
3. 不动

假设已知每个数属于哪一种，考虑如何判定该方案是否合法：

1. 不动的数一定是单调递增的
2. 不动的数把序列划分成了若干段，考虑一段内的数，对于向左移动的，要求其后一个不动的数大于它
3. 对于向右移动的，要求其前一个不动的数小于它

如果一个数前一个不动的数小于它，后一个不动的数大于它，那么它可以直接不动，且容易验证进行这样的约束之后剩下部分依旧满足上述条件。

比如 \(x < y < z, a_x < a_y < a_z\)，我们把 \(y\) 变成不动的，则 \(p\in(x, y), a_p > a_z\rightarrow a_p > a_y\)，\(p\in(y,z), a_p < a_x\rightarrow a_p < a_y\)。

所以一个合法方案形如若干单调递增的数作为不动数，相邻不动数中间的一段满足 2. 或 3. 其中之一，这样一个段内数的操作代价，只需要和其前后的不动数其中一个作比较就可知。

得到了方案的刻画，进行 DP，\(f_i\) 表示前 \(i\) 个数，钦定 \(i\) 作为不动数的方案数，转移枚举上一个不动数即可。

时间复杂度：\(O(n^2)\)。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define int long long
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 1e5 + 10;

int n, a, b, p[N], f[N];

signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
    cin >> n >> a >> b;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) cin >> p[i];
    f[0] = 0;
    int ans = 1e18;
    p[n + 1] = 1e9;
    for(int i = 1; i <= n + 1; i ++){
        f[i] = 1e18;
        for(int j = i - 1, c = 0; ~j; j --) {
            if(p[j] < p[i]) f[i] = min(f[i], f[j] + c);
            if(p[j] > p[i]) c += a;
            else c += b;
        }
    }
    cout << f[n + 1] << '\n';

    return 0;
}