[Gym-100343E]Convex Permutominoes 题解

观察一下：

1. \(n\times n\) 的网格肯定每行每列都被填上了。
2. 如果只保留横线，可以还原出竖线
3. 只保留横线的话，因为是一个封闭图形，所以会有上半部分和下半部分，分别覆盖了上边界和下边界。
4. 为了保证是凸的，上半部分一定是峰形，下半部分是谷形。
5. 上半部分要在下半部分上面。
6. 由于每一列都有且仅有一个竖线，所以如果考虑上半部分和下半部分中 \(1\sim i\) 列部分的末端，一定是其中一个继续延长，另一个断开成新的一条横线。

设计 DP \(f_{i, j, k,0/1,0/1}\) 表示当前考虑 \(1\sim i\) 列，上半部分横线在所有可以放横线的行中相对排名是 \(j\)，下半部分的是 \(k\)，且上半部分是否开始下降，下半部分是否开始上升，的方案数，因为剩余能放横线的行已经确定是 \(n - i + 2\) 个，所以不用把这一维放进状态里。

转移是容易的，枚举成新的横线的是上半部分还是下半部分，然后再枚举横线在哪里即可。

时间复杂度 \(O(n^4)\)。

[Gym-100343E]Convex Permutominoes

观察一下：

1. $n\times n$ 的网格肯定每行每列都被填上了。
2. 如果只保留横线，可以还原出竖线
3. 只保留横线的话，因为是一个封闭图形，所以会有上半部分和下半部分，分别覆盖了上边界和下边界。
4. 为了保证是凸的，上半部分一定是峰形，下半部分是谷形。
5. 上半部分要在下半部分上面。
6. 由于每一列都有且仅有一个竖线，所以如果考虑上半部分和下半部分中 $1\sim i$ 列部分的末端，一定是其中一个继续延长，另一个断开成新的一条横线。

设计 DP $f_{i, j, k,0/1,0/1}$ 表示当前考虑 $1\sim i$ 列，上半部分横线在所有可以放横线的行中相对排名是 $j$，下半部分的是 $k$，且上半部分是否开始下降，下半部分是否开始上升，的方案数，因为剩余能放横线的行已经确定是 $n - i + 2$ 个，所以不用把这一维放进状态里。

转移是容易的，枚举成新的横线的是上半部分还是下半部分，然后再枚举横线在哪里即可。

时间复杂度 $O(n^4)$。

```cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#include <set>
#define int long long
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 50 + 10, M = 1e5, mod = 998244353;

int n, f[N][N][N][2][2];
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod, b >>= 1;
    }
    return res;
}
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0); 
    freopen("permutominoes.in", "r", stdin);
    freopen("permutominoes.out", "w", stdout);
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; i ++)
        for(int j = i + 1; j <= n; j ++)
            f[2][i][j][0][0] = 1;
    for(int i = 2; i < n; i ++) {
        for(int j = 1; j <= n; j ++) {
            for(int k = j + 1; k <= n; k ++) {
                for(int o1 = 0; o1 < 2; o1 ++) {
                    for(int o2 = 0; o2 < 2; o2 ++) {
                        int t = f[i][j][k][o1][o2];
                        if(!t) continue;
                        int c = n - i + 2;
                        if(!o1) {
                            for(int p = 1; p < j; p ++) {
                                f[i + 1][p][k - 1][o1][o2] += t;
                            }
                        }
                        for(int p = j + 1; p < k; p ++) {
                            f[i + 1][p - 1][k - 1][1][o2] += t;
                        }
                        if(!o2) {
                            for(int p = k + 1; p <= c; p ++) {
                                f[i + 1][j][p - 1][o1][o2] += t;
                            }
                        }
                        for(int p = j + 1; p < k; p ++) {
                            f[i + 1][j][p][o1][1] += t;
                        }
                    }
                }
            }
        }
    }
    int ans = 0;
    for(int j = 1; j <= n; j ++) {
        for(int k = j + 1; k <= n; k ++) {
            for(int o1 = 0; o1 < 2; o1 ++) 
                for(int o2 = 0; o2 < 2; o2 ++) 
                    if(f[n][j][k][o1][o2]) {
                        ans += f[n][j][k][o1][o2];
                    }
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    
    return 0;
}