CF1264F Beautiful Fibonacci Problem 题解

CF1264F Beautiful Fibonacci Problem 题解

斐波那契在模意义下有循环节，且其在 \(\bmod 10^9\) 意义下循环节是 \(N = 1.5\times 10^9\)。

因此 \(F_{N + 1}\equiv 1\pmod {10^9}\)，设 \(F_{N+1} = t10^9 + 1\)，容易验证 \(t \perp 10\)。

引理 1： \(F_{n + m + 1} = F_{n}F_{m} + F_{n + 1}F_{m + 1}\)，归纳法可证。

推论：\(F_{kN + 1} \equiv F_{(k - 1)N}F_N+F_{(k - 1)N + 1}F_{N + 1} \equiv F_{(k - 1)N + 1}F_{N + 1}\pmod {10^{18}}\)。

因为 \(F_1 = 1\)，所以

\[F_{kN + 1} = F^k_{N + 1}\equiv(t10^9 + 1)^k\equiv\sum_{i = 0}^k\binom{k}{i}(t10^9)^i\equiv kt10^9 + 1\pmod {10^{18}} \]

注意到 \(F_1, F_{N + 1}, F_{2N + 1}, ..., F_{kN + 1}\) 是等差数列，考虑用这个构造答案。

如果我们巧妙地构造 \(k\)，就可以把 \(a + di\) 放到第 \(9\) 位后，首先要把 \(t\) 消掉，然后直接放上 \(a + di\)。

设 \(pt \equiv 1\pmod {10^9}\)，所以：

\[F_{pN + 1} \equiv pt10^9 + 1\equiv p(t\bmod {10^9} + l10^9)10^9 + 1\equiv 10^9 + 1\pmod{10^{18}} \]

所以我们就可以把 \(a + di\) 放到第 \(9\) 位后了：

\[F_{(a + di)pN + 1} \equiv(a + di)10^9 + 1\pmod {10^{18}} \]

因此 \(b = apN + 1, e = dpN\)。

可以计算出 \(p = 614945049\)。