浅谈一类树上贪心问题

浅谈一类树上贪心问题

这一类问题的套路是考虑先将局部顺序确定，最后合并以及确定顺序的连通块得到最后答案。

UVA1205 Color a Tree

考虑一个点 \(u\) 的左右儿子是 \(a\) 和 \(b\) 连通块，\(c_a\) 表示 \(a\) 里的点数，\(s_a\) 表示 \(a\) 里的点权和，如果对于 \(u\)，先走了 \(a\) 再走 \(b\)，这样的代价会是 \(c_us_a + (c_u + c_a)s_b\)，否则代价会是 \(c_us_b + (c_u + s_b)s_a\)。

如果先走 \(a\) 优于先走 \(b\)，则 \(c_as_b < c_bs_a\Longrightarrow \dfrac{c_a}{s_a} < \dfrac{c_b}{s_b}\)，容易发现该条件具有传递性，所以可以根据这个来确定合并所有点的顺序。

AT_agc023_f [AGC023F] 01 on Tree

这题是类似的，设 \(a\) 中 \(1\) 的个数是 \(\beta_a\)，\(0\) 的个数是 \(\alpha_{a}\)，如果先走 \(a\) 优于先走 \(b\)，则 \(\beta_a\alpha_b < \beta_b\alpha_a\Longrightarrow \dfrac{\beta_a}{\alpha_a} < \dfrac{\beta_b}{\alpha_b}\)，容易发现该条件具有传递性，所以可以根据这个来确定合并所有点的顺序。

HDU6326 Monster Hunter

这题是拼好题，怪猎题有经典贪心，我们假设经过 \(i\) 需要消耗 \(a_i\)，HP 会增加 \(b_i\)（包含消耗的 HP，这里的 \(b_i\) 是原题中 \(b_i - a_i\)）：

如果先走 \(i\) 再走 \(j\)，那么最后的 \(a\) 会变为 \(\max(a_i, a_j-b_i)\)，否则会是 \(\max(a_j, a_i - b_j)\)。

1. 如果 \(b_i, b_j \ge 0\)，那么显然会先走 \(a\) 最小的。
2. 如果 \(b_i \ge 0, b_j < 0\)，那么显然会先走 \(i\)，\(b_j\ge 0, b_i < 0\) 会先走 \(j\)。
3. 如果 \(b_i, b_j < 0\)，考虑上面的式子，如果先走 \(x\) 更优，则 \(\max(a_i, a_j-b_i) < \max(a_j, a_i - b_j)\)，这等价于 \(a_i < \max(a_j, a_i - b_j), a_j-b_i < \max(a_j, a_i - b_j)\)，第一个式子是显然成立的，因为 \(a_i-b_j>a_i\)，第二个式子等价于 \(a_j-b_i<a_i-b_j\Longrightarrow a_j+b_j<a_i+b_i\)。

综上所述，该条件具有传递性，所以可以根据这个来确定合并所有点的顺序。