P5912 [POI 2004] JAS 题解

P5912 [POI 2004] JAS 题解

构造点分树的方式：每一次在每一个连通块里选取一个点作为分治中心。

题意可转化为一棵树的最浅点分树最大深度。

转化题意

等价于考虑每个点的高/深度，为了方便，定义一个点的高度为它距离子树里最深的点的距离，如果我们给每个点分配了一个合法的高度，那么答案就是最大的高度。

可以发现一个分治的时刻，每一个连通块里面不能有两个以上高度相同的点，也就是说任意两个高度为 \(x\) 的点之间的路径上不可以所有点的高度都 \(\le x\)，这是一组合法高度的充要条件。

贪心

考虑自底向上贪心，对于一个点 \(u\) 假设其所有子树内部点已经确定，定义 \(vis_u\) 表示从 \(u\) 开始不经过 \(> u\) 的点可以到达 \(u\) 子树里面哪些高度的点，因为点分树的性质保证了高度是 \(O(\log n)\) 的，所以可以状压这个状态。

\(u\) 的高度 \(lab_u\) 需要满足：

1. \(vis_u\) 不包含 \(lab_u\)，不然就出现了不合法点对

2. \[lab_u> \max_{x, y\in son_u, i\in vis_x\cap vis_y} i \]

   不然会出现来自 \(x\) 和 \(y\) 子树某对点的不合法点对。

只要满足了这两个条件，\(lab_u\) 就是合法的，且 \(lab_u\) 会选择最小的合法的数来使 \(vis_u\) 字典序最小，可以证明这样是最优的。