CF1672G Cross Xor 题解

CF1672G Cross Xor 题解

分三种情况考虑：

1. \(n, m\) 均为偶数；

   可以证明，这种情况无论如何都可以变为全 0 矩阵。

   因为如果我们操作 \((x,y)\) 同一行同一列上的位置恰好一次，那么最后的结果就会是翻转 \((x, y)\)。

   因此答案就是 \(2^{cnt_?}\)。

2. \(n, m\) 有恰好一个奇数（不妨假设 \(n\) 是奇数）；

   可以证明，这种情况只需要每一列的异或和相等就可以变为全 0 矩阵，如果是异或和是 1，不妨随便做一次操作变为异或和为 0。

   必要性：一次操作只能同时改变所有列的异或和。

   充分性：

   如果我们操作 \((x,y)\) 同一行同一列上的位置恰好一次，那么最后的结果就会是翻转 \(y\) 这一列上，除了 \((x, y)\) 以外的所有数。

   如果我们操作 \((x,y)\) 同一行同一列上的位置一次，\((z, y)\) 同一行同一列上的位置一次，最后的结果就是翻转 \((x, y)\) 和 \((z, y)\)。

   所以，对于同一列，有偶数个 1，对于 \((x, y)\) 是 1，每次操作选取 \((x, y), (n, y)\)。如果 \((n, y)\) 是 0，这会做偶数次，否则会做奇数次翻转，所以我们成功把一列消完了。

   这种情况下，如果一列中有 \(?\)，那么，这一列异或和为 0,1 情况相等，计数是繁而不难的。

3. \(n, m\) 均为奇数。

   可以证明，这种情况需要每一行，每一列的异或和均相等，如果是异或和是 1，不妨随便做一次操作变为异或和为 0。

   必要性：一次操作只能改变所有行列的异或和。

   充分性：

   如果我们操作 \((a, b), (a, d), (c, b), (c, d)\)，最后的结果是翻转 \((a, b), (a, d), (c, b), (c, d)\)。

   所以，对于 \((a, b)\) 是 1，每次操作选取 \((a, b), (n, b), (a, m), (n, m)\)。\((n, b), (a, m)\) 同上，每一行有偶数个 1，总共有偶数个 1，所以如果 \((n, m)\) 是 0，会做偶数次翻转 \((n, m)\)，否则会做奇数次翻转，所以我们成功消完了。

   假设所有行列异或和都是 0，都是 1 的情况差不多，因为对一个 \(?\) 的取值对行列都有影响，所以行列连边形成了一个二分图，我们可以做的是翻转一条边两端的点值，每个点初始点值是：把 \(?\) 视作 \(0\) 的一行/列异或和。对于每个连通块，如果点值异或和为 0，取出一棵生成树做经典贪心，这样包可以消完，所以对非树边没有约束，答案就是 \(2^{k}\)，\(k\) 是非树边个数。

#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <queue>
#define int long long
#define x first
#define y second
using namespace std;
typedef pair<int, int> PII;
const int N = 4000 + 10, mod = 998244353;

int n, m, fa[N], sz[N], sze[N], sum[N];
int qmi(int a, int b) {
    int res = 1;
    while(b) {
        if(b & 1) res = res * a % mod;
        a = a * a % mod, b >>= 1;
    }
    return res;
}
int find(int x) {
    return fa[x] == x ? x : fa[x] = find(fa[x]);
}
void merge(int a, int b) {
    int x = find(a), y = find(b);
    if(x != y) fa[x] = y, sz[y] += sz[x], sze[y] += sze[x] + 1, sum[y] ^= sum[x];
    else sze[x] ++;
}
char g[N][N];
signed main() {
    ios::sync_with_stdio(0), cin.tie(0);
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++)
        cin >> g[i][j];
    if(n % 2 == 0 && m % 2 == 0) {
        int ans = 1;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++)
            if(g[i][j] == '?') ans = ans * 2 % mod;
        cout << ans << '\n';
    }
    else if(n % 2 && m % 2) {
        for(int i = 1; i <= n + m; i ++) fa[i] = i, sz[i] = 1, sze[i] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++) if(g[i][j] == '1') sum[i] ^= 1, sum[j + n] ^= 1;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++) if(g[i][j] == '?') merge(i, j + n);
        int cnt1 = 1, cnt0 = 1, ans = 1;
        for(int i = 1; i <= n + m; i ++)
            if(i == fa[i]) {
                if(sum[i]) cnt0 = 0;
                if(sum[i] != (sz[i] & 1)) cnt1 = 0;
                ans = ans * qmi(2, sze[i] - sz[i] + 1) % mod; 
            }
        cout << (cnt1 + cnt0) * ans % mod << '\n';
    }
    else {
        if(m & 1) {
            for(int i = 1; i <= max(n, m); i ++)
                for(int j = 1; j <= i; j ++) swap(g[i][j], g[j][i]);
            swap(n, m);
        }
        for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++) if(g[i][j] == '1') sum[j] ^= 1;
        for(int i = 1; i <= n; i ++) for(int j = 1; j <= m; j ++) if(g[i][j] == '?') sum[j] = min(-1ll, sum[j] - 1);
        int ans = 0;
        for(auto o : {0, 1}) {
            int cnt = 0;
            for(int j = 1; j <= m; j ++) if(sum[j] >= 0 && sum[j] != o) goto Saya;
            for(int j = 1; j <= m; j ++) if(sum[j] < 0) cnt -= sum[j] + 1;
            ans = (ans + qmi(2, cnt)) % mod;
            Saya: ;
        }
        cout << ans << '\n';
    }
    
    return 0;
}