随笔分类 - 【其他】数学笔记
摘要：目录假设检验的概念单个总体正态分布的假设检验正态总体均值 \(\mu\) 的假设检验正态总体方差 \(\sigma^2\) 的假设检验两个总体正态分布的假设检验（略）例题 假设检验的概念 【定义】\(H_0\) 称为原假设，\(H_1\)称为对立假设，它们的内容相互对立。 使原假设 \(H_0\)
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摘要：目录点估计矩估计法最大似然估计法区间估计单个正态总体参数的区间估计均值 \(\mu\) 的区间估计方差 \(\sigma^2\) 的区间估计两个正态总体参数的区间估计（略）补充：单侧置信区间 点估计 矩估计法 【定义】设 \(X\) 是随机变量，若 \(E(X^k) (k=1,2,...)\) 存在
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摘要：目录中心极限定理抽样分布卡方分布t分布F分布正态总体的【样本均值】与【样本方差】的分布 中心极限定理 【中心极限定理】设随机变量 \(X_k(k=1,2,...,n)\) 相互独立且服从同一分布，数学期望 \(E(X_k)=\mu\)，方差 \(D(X_k)=\sigma^2\)，当 \(n\) 充
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摘要：目录上分位数和下分位数的定义下分位数的直观理解上分位数的直观理解常用分布中的分位数正态分布卡方分布 上分位数和下分位数的定义 设连续型随机变量 \(X\) 的分布函数为 \(F(x)\)，概率密度函数为 \(f(x)\)，则： 对于任意正数 \(\alpha(0<\alpha<1)\)，称满足条件
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摘要：目录拟牛顿法的思想拟牛顿法的条件拟牛顿法的步骤校正矩阵的确定SR1 校正（对称秩 1 校正）DFP 校正BFGS 算法 拟牛顿法的思想 牛顿法的迭代方程为： \[d_k = - (\nabla^2 f(x_k))^{-1} \nabla f(x_k) \]牛顿法的优缺点： 优点：局部二阶收敛，速度快
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摘要：目录共轭方向共轭方向法共轭梯度法非线性共轭梯度法 共轭方向 设 \(Q \in \mathbb{R}^{n \times n}\) 对称正定，若 \(n\) 维向量组 \(d_1, ..., d_m \in \mathbb{R}^n\) 满足： \[d_i^\top Q d_j = 0, \fora
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摘要：目录梯度下降法梯度下降法的收敛性最速下降法牛顿法修正牛顿法阻尼牛顿法 梯度下降法 【算法原理】给定 \(x_k\)，设 \(f(x)\) 一阶可微，给定 \(d \in \mathbb{R}^n\)，有： \[\begin{aligned} f'(x_k, d) &= \lim_{t\rightar
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摘要：目录非精确线搜索技术Armijo-Goldstein 准则Wolfe-Powell 准则强 Wolfe-Powell 准则 【问题】在迭代中，已知 \(x^{(k)}\) 和下降方向 \(d^{(k)}\)，如何确定下降步长 \(\alpha^{(k)}\)，使得 \(f(x^{(k)} + \al
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摘要：目录精确线搜索技术进退法确定搜索区间分割法确定极小值二分法黄金分割法插值法三点二次插值法（拉格朗日插值法） 【问题】在迭代中，已知 \(x^{(k)}\) 和下降方向 \(d^{(k)}\)，如何确定下降步长 \(\alpha^{(k)}\)，使得 \(f(x^{(k)} + \alpha^{(k)
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摘要：目录多元函数的可微性和展开p-范数凸函数凸集无约束优化问题的最优解条件最优解的定义一阶最优解条件二阶最优解条件 多元函数的可微性和展开 多元单值函数：\(f(\vec{x}) = f(x_1, x_2, ..., x_n)\)，其中 \(\vec{x} = (x_1, x_2, ..., x_n)^
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摘要：目录常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程常数变易法求解二阶非齐次线性微分方程例题 常数变易法求解一阶非齐次线性微分方程 对于一阶非齐次线性微分方程 \[y' + p(x)y = q(x) \]先用分离变量法求解对应的齐次方程 \[\begin{aligned} & y' + p(x)y = 0 \\
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摘要：目录1 原函数存在性和可积性1.1 函数可积的充分条件（判定条件）1.2 函数存在原函数的充分条件（判定条件）1.3 函数可积的必要条件（性质）1.4 变上限积分的性质2 平面图形2.1 平面图形的面积2.1.1 直角坐标系下的平面图形的面积2.1.2 参数方程形式下的平面图形的面积2.1.3 极坐
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摘要：目录合同变换法一、实对称矩阵 A 对角元素均不为零二、实对称矩阵 A 对角元素有零三、实战一道题 合同变换法 已知二次型 \(f = x^T A x\)，求变换 \(x=Py\)，使得二次型化为标准型 \(f=y^T \Lambda y\)，且 \(P^T A P = \Lambda\)。该过程的实
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摘要：目录【方法一】运用哈密顿凯莱定理相关例题【方法二】运用特征方程二阶矩阵求解通法三阶矩阵求解通法相关例题 市面上许多资料给出的计算矩阵高次幂的方法，无外乎有这几种： 分块矩阵求解高次幂； 先求低次方幂，然后通过找规律推出通项公式； 将矩阵拆分为秩 1 矩阵和数量矩阵，使用秩 1 矩阵的性质求解； 将矩
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摘要：目录一次方程的求根公式二次方程的求根公式三次方程的求根公式四次方程的求根公式 The Quartic Formula 一次方程的求根公式 \[x = {-b \over a} \]The linear formula gives the solution of \(ax+b=0\) for real
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摘要：[toc] # 正定矩阵的分解方法 设三阶**正定矩阵** $A$，若矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，对应的**单位化**特征向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 且**两两正交**，则存在正交矩阵 $Q =
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摘要：[toc] # 谱分解定理 设三阶**实对称矩阵** $A$，若矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，对应的**单位化**特征向量分别为 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 且**两两正交**，则 $A = \lambda_1
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摘要：目录一、相似矩阵1. 特征值与特征向量（1）定义（2）特征值的性质（3）特征向量的性质（4）常用结论2. 相似关系（1）相似的定义（2）相似的性质3. 相似对角化（1）相似对角化的定义（2）可对角化的判别（3）相似对角化的步骤二、合同矩阵1. 二次型（1）二次型的定义（2）惯性定理（3）最大和最小值
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摘要：这道题源自23版李林880的矩阵章节，题目如下： 设矩阵 $A=\left[ \begin{matrix} 1 & -1 & -1 & -1 \\ -1 & 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1 & -1 \\ -1 & -1 & -1 & 1 \end{matrix} \right
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摘要：[toc] # 公式 $$ \left\{ \begin{aligned} &\beta_1 = \alpha_1 \\ &\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2, \beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1 \\ &\beta_3 =
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