广二集训 day1

T1 线段树合并&dsu on tree

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Problem A: 不能说的秘密(secret)

【题目描述】

碎片散落在了一棵有 \(n\) 个顶点的有根树上。顶点从 \(1\) 到 \(n\) 编号，顶点 \(1\) 是根，顶点 \(i\)(\(2 \le i \le n\)) 的父亲编号为 \(p_i\)，其中 \(1 \le p_i < i\)。每个顶点上恰有一个碎片，顶点 \(i\) 上的碎片会在第 \(t_i\) 秒末消失。

你试着捡起顶点 \(k\) 子树内的所有碎片。在每一秒，你可以什么也不做，也可以选择一个满足以下条件之一的顶点 \(i\) 并捡起顶点 \(i\) 上的碎片：

• \(i = k\)；
• 顶点 \(p_i\) 上的碎片已经被捡起。

每个碎片被捡起的时间都要在其消失之前。例如，对于一个在第 \(3\) 秒末消失的碎片，你需要在第 \(1\) 秒、第 \(2\) 秒或第 \(3\) 秒捡起它。

我们保证了 \(t_i ≥ n\)，不难发现你可以随便捡，但是你想拖延时间。试求最迟在第多少秒初开始捡碎片能保证捡完顶点 \(k\) 子树内的所有碎片。

你需要对于 \(k = 1, 2,...,n\) 分别求出答案。

【输入格式】

从文件 secret.in 中读入数据。

输入的第一行包含一个整数 \(n\)，表示树的顶点数量。

输入的第二行包含 \(n-1\) 个整数，第 \(i-1\) 个整数 \(p_i\) 表示顶点 \(i\) 的父亲编号。

输入的第三行包含 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数 \(t-i\) 表示顶点 \(i\) 上的碎片消失时间。

【输出格式】

输出到文件 secret.out 中。

输出一行包含 \(n\) 个整数，第 \(i\) 个整数表示当 \(k = i\) 时的答案。

【样例 1 输入】

6
1 1 2 2 3
6 8 6 7 9 9

1 输出】

4 6 6 7 9 9

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线段树合并和启发式合并好题

先说思路，容易发现先按时间排序，然后从小到大依次与根节点打通最优，考虑交换处理顺序，发现肯定会将最小时间提前

我们先处理好操作顺序，按上述描述模拟即可，先处理根为1的

$ans=\min_{i=1}^{n}{t_i-k_i+1} $ , \(k_i\)为操作次序

那我们在每个子树内维护即可

线段树合并

这个处理方法真的很妙，容易发现全局操作次序的相对次序在子树内同样适用，假定线段树底层是操作次序\(k_i\)，那么子树内\(k_i\)即为线段树底层节点前面有几个不为空的位置+1

我们考虑线段树合并，容易发现siz是好维护的，再维护一个ans

考虑合并，可以直接继承左子树答案，因为右边已经无值，右子树则需处理，理由如上

\(ans=min(ans_l,ans_r-siz_l)\)

普通线段树合并即可

int insert(int p,int l,int r) {
	int id=++cnt;
	siz[id]++,val[id]=p;
	if(l==r)return id;
	int mid=l+r>>1;
	if(p<=mid) ls[id]=insert(p,l,mid);
	else rs[id]=insert(p,mid+1,r);
	return id;
}

void push_up(int p) {
	siz[p]=siz[ls[p]]+siz[rs[p]];
	val[p]=min(val[ls[p]],val[rs[p]]-siz[ls[p]]);
}
int merge(int x,int y,int l,int r) {
	if(!x||!y) return x+y;
	if(l==r) {
		siz[x]+=siz[y],val[x]=l-siz[x]+1;
		return x;
	}
	int mid=l+r>>1;
	ls[x]=merge(ls[x],ls[y],l,mid);
	rs[x]=merge(rs[x],rs[y],mid+1,r);
	push_up(x);
	return x;
}

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启发式合并

还是刚才那个思路，我们考虑树上启发式合并

我们还是考虑线段树底层是操作次序\(k_i\)，那这样我们需要将\(t_i\)插入进去，用区间减操作处理\(k\)的真实值，具体的讲，将区间\([k_i+1,up]\)都减去1，代表它们在此节点后操作，注意初始线段树来个极大值即可，然后区间取min

时间复杂度为\(O(n log^2 n)\),常数很小

贴一下初绘代码

void pushup(int p) {tr[p] = min(tr[p * 2] , tr[p * 2 + 1]);}
void pushdown(int p) {/* ... */}
void change(int p , int l , int r , int s , int t , int x) {
    /*区间加减*/
}
void TJ(int x , int fa , int op) {
    change(1 , 1 , n , dis[x] , dis[x] , (a[x].t - M) * op);
    change(1 , 1 , n , dis[x] + 1 , n , (-1) * op);
    for(auto to : v[x]) {
        if(to == fa) continue;
        TJ(to , x , op); 
    }
}
void dfs2(int x , int fa , bool op) {
    for(auto to : v[x]) {
        if(to == fa || to == son[x]) continue;
        dfs2(to , x , 0); 
    }
    if(son[x]) dfs2(son[x] , x , 1);
    for(auto to : v[x]) {
        if(to == fa || to == son[x]) continue;
        TJ(to , x , 1);
    }
    change(1 , 1 , n , dis[x] , dis[x] , a[x].t - M);//插入自身
    change(1 , 1 , n , dis[x] + 1 , n , -1);//区间减，维护子树内k值
    ans[x] = tr[1];
    if(!op) TJ(x , fa , -1);
}