分数规划

引入

分数规划主要是对形如
$$\frac{\sum _{i=1}^n{a}_i\ast w_i}{\sum _{i=1}^n{b}_i\ast w_i}$$
\(w\)数组表示选与不选，最值化上式，不过一般会要求选k个，或者总重量至少为\(W\)再加上一大堆乱七八糟的限制
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解决方法

一般来讲用二分法，还有一个\(Dinkelbach\) 算法算是对二分的优化，就是用上一次的答案来做左边界，不过我们没有必要学习它

P10505
在这可以写一下分数规划的基本原理
\(\frac{a}{b}>mid\Longrightarrow a-b*mid>0\)
找所有大于0的元素对累加即可
基本上所有的分数规划都是这个原理，而这个题让我们选择\(n-k\)个数，如果必须要选择负数那怎么办呢，考虑此时还满足相加吗，实际上是满足的（在\(mid<1\)时），读者感兴趣可以自己去证明

那这题式子很显然就是\(设 t_i=a_i-mid*b_i,取最大的几个即可\)

P4377

这就是我说的那种总重量至少为\(W\)的题，也不算恶心，\(check\)里面改成背包，注意这题的重量加和可能会很大，所以\(f_i\)定义为重量和至少为\(i\)的最优值,填表写感觉更好捏

bool check(double x) {
	for(int i=1;i<=w;i++) f[i]=-P;
	for(int i=1;i<=n;i++) {
		t[i]=a[i]-b[i]*1.0*x;
		for(int j=w;j>=0;j--) 
			if(j+b[i]<=w)
				f[j+b[i]]=max(f[j+b[i]],f[j]+t[i]);
			else 
				f[w]=max(f[w],f[j]+t[i]);
	}
//	for(int i=w;i<=W;i++) if(f[i]>0) return 1;
	return f[w]>=0.0;
}

\(P4322 [JSOI2016]最佳团体\)

可以发现这是一个树的结构，考虑树上背包，\(f_{i,j}\)表示在i的子树中选j个，会发现这个式子看起来像\(O(n^3)\)的，但其实是\(O(n^2)\)的，可以参考这篇博客 this

给你们看一下小代码

void dfs(int p) {
	t[p]=a[p]-b[p]*mid;
	int tot=0;
	for(int i=1;i<=siz[p];i++) f[p][i]=-P;
	for(auto i:v[p]) {
		dfs(i);
		for(int j=0;j<=tot;j++) {
			for(int k=1;k<=siz[i];k++) {
				f[p][j+k]=max(f[p][j+k],f[p][j]+f[i][k-1]+t[i]);
			}
		}
		tot+=siz[i];
	}
}

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