同余与逆元

同余

• 前置知识 ————扩展欧几里得定理

• 什么是同余

  对于两个数a,b,它们对于p取模结果相同，那么就称a和b在对p取模意义下同余

• 公式表达

  \(\color{red}{a≡b(mod)p}\)

• 如何求一个数的同余

  利用扩展欧几里得定理
  我们将该公式转化一下 -> \(a\%p == b\%p\)
  再变一下 -> \(a\%p - b\%p == 0\)
  再变一下 -> \(a\%p + (-b\%p) ==0\)
  诶，这个时候我们可以发现这个和扩欧的公式好像啊\((ax+by==c)\)
  那么是不是将其看成扩欧就可以解决了呢
  事实是————是的
  但是我们知道可以用扩欧求出一个同余来了，但是好像还是不知道怎么求，也不知道同余可以干什么啊
  事实上，在平常的写题中没有系数的同余都是很少出现的，一般同余是这么出现的-----
  \(ax≡b\%p\) 它会告诉你一个系数再让你去求解
  更特殊的，\(b\)会等于1，这个时候，就扯到逆元上了

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逆元

• 什么是逆元

形如\(ax≡1\ mod\ p\)的\(x\)我们就称\(x\)是\(a\)在\(mod\ p\)意义下的一个逆元，即\(a\)乘以\(x\)后\(mod\ p\)的答案是1

• 逆元有什么用

  在部分对一个很大的数字取模防止答案爆\(long long\)以至于表达不出来的题目中，有时会发现会用到除法，可是用整数除法会有问题啊，那怎么办呢又是那怎么办呢？
  这个时候逆元就派上用场了
  我们发现，\(ax\ mod\ p == 1\) 时，这个x等于 \(\frac{1}{a}\)时就是一个最明显的满足条件的逆元，可是\(\frac{1}{a}\)不是一个整数啊，那怎么办呢？
  实际上，一个数对于另一个数取模时，它的逆元是有无数个的，只不过\(\frac{1}{a}\)是最小的一个，也就是说，还会有\(ay \mod p == 1\)的存在，
  而这个时候，由于要对p取模，那么我们的a乘以x和乘以y的效果都是一样的，所以\(\frac{1}{a}\)可以被另一个常数y所代替，再想开一点，是不是所有的常数在对p取模时乘以\(\frac{1}{a}\)时都可以被y所代替呢， 由于p是不变的，所以这个结论是正确的

• 如何求逆元

  • 求逆元有三种方式
    前面说过，有一种是可以用\(ex\_gcd\)来求的
    另外两种分别是费马小定理（有局限性，但是非常简单）和线性推逆元(线性的去求逆元，适用于大规模求逆元)
    • \(ax ≡ 1 mod\ b\)
    • \(ax \% b == 1\)
    • \(ax - ax/b*b == 1\)
    • \(设y为ax/b,ax + (b(-y)) == 1\)
    • \(以下y为-y\)
    • \(ax + by == gcd(a,b)\)
    • 这个公式就可以套用扩欧了，下面再推一次扩欧
      \(gcd(a,b) == gcd(b,a\%b) == gcd(b,a-a/b*b)\)
      \(ax + by == gcd(b,a-a/b*b) == bx'+(a-a/b*b)y'\)
      \(ax + by == bx' + ay' - a/b*y'\)
      \(ax + by == ay' + b(x'-a/b*y)\)
      \(x = y',y = x' - a / b*y\)

  由此，我们可以得出求一个数的逆元的公式了
  \(ex\_gcd(a,mod,ni,x)\)//\(a\)为要求的数的逆元，\(mod\)为模数，\(ni\)为逆元，\(x\)什么都不是
  \(ni=(ni+mod)\%mod\);//防止负数

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总结

• 同余是当两个数都模一个p它们的余数相同，那么我们就称这两个数同余
• 逆元是同余的一种常见特殊情况
• 对于求逆元，首先要知道逆元有什么用：
• 逆元是在取模运算中可以用乘法代替除法的巧妙工具

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code:

void ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
	if (b==0){x=1,y=0;return;}
	ex_gcd(b,a%b,x,y);
	int tmp=x;
	x=y,y=tmp-a/b*y;
}