2019陕西省赛J Coolbits
\(\mathcal{Description}\)
给\(n\)个区间，需要在每个区间选一个数，使得将这些数与起来的结果最大，\(n\)个区间相互独立（即可选择相同的数）
\(\mathcal{Solution}\)
从大到小考虑每一位是否能填\(1\) ，同时构造出每个区间选的数是什么
设\(now_i\) 表示第\(i\) 个区间在满足之前贪心的条件下，目前选的数是什么，现在考虑到第\(k\)位了，假设第\(k\) 位为\(1\) ，则\(now_i\) 会变成\(now_i|2^k\) ，之后能表达的数在区间\([now_i+2^k,now_i+2^{k+1}-1]\)范围内
如果这个区间和\([l_i,r_i]\)有交集，则说明第\(i\) 个区间在满足前面位的情况下第\(k\) 位可以为\(1\) ，若所有区间第\(k\) 位都可为\(1\) ，那么所有的\(now_i|=2^k\) ，否则就要考虑\(now_i\) 第\(k\) 位是否为\(1\)
若本就不可为\(1\) 自不必说，而如果\(now_i\) 第\(k\) 位可以为\(1\) ，也可不为\(1\) ，我们可以考虑设之前说的区间为\([nl,nr]\) ，现在我们其实并不关心第\(k\) 位如何，为\(1\) 也好，不为\(1\) 也好，只要能让我们在考虑之后的某位能为\(1\) 时能尽可能满足条件即可
此时需要注意到，考虑\(nl-1\) 的二进制是什么样的，\(nl-1=now_i+2^k-1\) ，也就是说，\(nl-1\) 的第\(0\) 位到第\(k-1\) 位都是\(1\) ，如果我们的区间\([l_i,r_i]\) 包含了\(nl-1\) ，那么第\(k\) 位不需要变成\(1\) ，否则就只能为\(1\)了
\(\mathcal{Code}\)
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
int T, n;
int l[maxn], r[maxn], now[maxn];
int main ()
{
scanf("%d", &T);
while (T--) {
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i) scanf("%d%d", &l[i], &r[i]), now[i] = 0;
int ans = 0;
for (int i = 29; i >= 0; --i) {
bool flag = true;
for (int j = 1; j <= n && flag; ++j) {
int nl = now[j] | (1 << i), nr = now[j] | ((2 << i) - 1);
if (nl > r[j] || nr < l[j]) flag = false;
}
if (flag) {
for (int j = 1; j <= n; ++j) now[j] |= 1 << i;
ans |= 1 << i;
}
else {
for (int j = 1; j <= n; ++j) {
int nl = now[j] | (1 << i), nr = now[j] | ((2 << i) - 1);
if (nl <= r[j] && nr >= l[j] && nl - 1 <= l[j]) now[j] |= 1 << i;
}
}
}
printf("%d\n", ans);
}
return 0;
}
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