约瑟夫问题
\(\mathcal{Description}\)
经典的约瑟夫问题
一开始有 \(n\) 个人围成一个圈,他们的编号从\(0\)到\(n-1\), 从 \(1\) 开始顺时针报数, 报出 \(m\) 的人被机关处决.
然后下一个人再从 \(1\) 开始报数, 直到只剩下一个人.
问最后剩下的人的编号.
\(n\leq 10^{18},\ m\leq 1000\)
\(\mathcal{Solution}\)
那些算法书总是把约瑟夫问题作为链表的例题来讲，初学者接触链表时还不会递推，于是一直以为只是一道链表题...
这么大的数据，当然不能链表模拟
考虑递推，还是那句话，递推的东西总是有联系的
递推时往往假设一个状态是已知的，然后试图推另一个状态，如果有递推式的话，我们就只要将最简单的状态手动求出即可
假设现在有\(n\)个人，第一个被处决的人的编号肯定是\(k=(m-1)\%n\)
当编号为\(k\)的人被处决后，接下来我们认为是从原编号为\(k+1\)的人开始重新编号，然后就是一个\(n-1\)个人的约瑟夫问题了
当然，这\(n-1\)个人的答案肯定不是最终答案，因为他是重新编号后的答案，所以我们要将其恢复原编号
因为新编号为\(0\)的人前面有\(m-1\)个人，也就是编号左移了\(m\)，所以最终的答案应该要加上\(m\)
设\(f[n]\)为长度为\(n\)的最后剩下的人的编号
则有\(f[n]=(f[n-1]+m)\%n\)
于是我们得到了一个\(O(n)\)的做法
但这还不够
我们继续看这个方程，发现\(n\)的答案可以被\(h\)共用
只需要满足\(f[n]+(h-n)m < n\)
也就是每次可以直接更新之后的\(k=\frac{n-f[n]}{m}\)个长度的答案
于是就将复杂度大大降低了
\(\mathcal{Code}\)
/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年09月01日 星期日 15时54分02秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,ans,now;
int main()
{
scanf("%lld%lld",&n,&m);
ans=0,now=1;
while (now<n){
ll inc=min((now-ans)/m,n-now);
if (!inc) inc=1;
now=now+inc;
ans=(ans+inc*m)%now;
}
printf("%lld\n",ans+1);
return 0;
}
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