三元组

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\(\mathcal{Description}\)

给定 \(n,k\),对于一 个三元组\((a, b, c)\),若合法则需要满足\(1 ≤ a, b, c ≤ n\),且两两元素之和均为\(k\)的倍数。
求不同的合法的三元组有多少个。
三元组的相应的任意一 位不同则认为他们不同。
\(\mathcal{Solution}\)

设 \(a=x_1k,b=x_2k,c=x_3k\)
\(x1,x2,x3\in [0,n/k]\) (包括小数)
则有
\(a+b=(x_1+x_2)k\)
\(b+c=(x_2+x_3)k\)
\(a+c=(x_1+x_3)k\)
即
\(x_1+x_2\in Z\)
\(x_2+x_3\in Z\)
\(x_1+x_3\in Z\)
所以可以知道

• 若\(x1,x2,x3\in Z\)
  则\(x1,x2,x3\)有\(n/k\)种选择
  • 当三个数字全部不相同　有\(C_{n/k}^3\)种搭配，每种搭配有６种排列方式
  • 当三个数字有两个相同　有\(C_{n/k}^2\)种搭配，每种搭配有６种排列方式
  • 当三个数字全部都相同　有\(n/k\)种搭配，每种搭配有１种排列方式
• 若\(x1,x2,x3∉ Z\)
  又\(\because x1,x2,x3\)两两相加为整数
  \(∴x1,x2,x3=ik+\frac{k}{2},i\in Z\)
  此时条件\(k\%2==0\)
  则\(x1,x2,x3\)有\(n/\frac{k}{2}-n/k\)种选择
  接下来的计算同上

代码

/*******************************
Author:Morning_Glory
LANG:C++
Created Time:2019年06月13日 星期四 08时19分25秒
*******************************/
#include <cstdio>
#include <fstream>
#define ll long long
using namespace std;
int n,k,tim,hal;
ll ans;
ll C3 (int n) { return 1ll*n*(n-1)/2*(n-2)/3; }
ll C2 (int n) { return 1ll*n*(n-1)/2; }
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&k);
	tim=n/k;
	if ((k-1)&1){
		hal=n/(k/2)-tim;
		ans+=6*C3(hal)+6*C2(hal)+hal;
	}
	ans+=6*C3(tim)+6*C2(tim)+tim;
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}