数学公式

数学公式与策略手册

Sohil & Sejal OmegaLearn.org

版本 1.6.2 2021年4月14日

目录

6 动机 6 关于数学竞赛的信息 6 免费AMC 8基础课程 7 免费AMC 8进阶/MATHCOUNTS课程 7 免费AMC 10/12课程 8 2021年AMC 10/12视频解答 8

1 代数 9

1.1 均值、中位数、众数 9
1.2 等差数列 10
1.3 等比数列 13
1.4 特殊级数 14
1.5 裂项相消 16
1.6 速度、距离和时间 16
1.7 工作量、速率和时间 17
1.8 方程组 18
1.9 多项式 19
1.9.1 多项式操作 23
1.10 代数变形 26
1.10.1 二次因式分解 26
1.10.2 西蒙的因式分解技巧 27
1.10.3 三次因式分解 28
1.10.4 高次幂因式分解 28
1.10.5 索菲·热尔曼恒等式 29
1.11 取整函数与取顶函数 29
1.12 不等式 30

2 数论 35

2.1 质数 35
2.2 整数序列 37
2.3 回文数 37
2.4 最大公约数/最小公倍数 37
2.5 模运算 39
2.6 不定方程 44
2.7 进制 45
2.8 P-进赋值 45

3 计数与概率 48

3.1 基本定义 48
3.1.1 阶乘 48
3.1.2 组合 48
3.1.3 排列 49
3.1.4 子集 50
3.2 组合策略 50
3.2.1 补集计数 50
3.2.2 重计数 50
3.2.3 分类讨论 50
3.3 进阶概念 51
3.3.1 单词重排与计数 51
3.3.2 星条旗方法 53
3.3.3 二项式定理 54
3.3.4 组合恒等式 54
3.3.5 鸽巢原理 56
3.4 概率与期望值 56
3.4.1 几何概率 58
3.4.2 容斥原理 58
3.4.3 双射 59

4 几何 62

4.1 三角形 62
4.1.1 三角形面积 62
4.1.2 特殊三角形 67
4.1.2.1 等边三角形 67
4.1.2.2 45-45-90三角形 68
4.1.2.3 30-60-90三角形 68
4.1.2.4 13-14-15三角形 69
4.1.3 勾股定理 70
4.1.4 相似三角形 73
4.1.5 角平分线定理 74
4.1.6 维维亚尼定理 75
4.1.7 范·斯霍滕定理 75
4.2 四边形 76
4.2.1 正方形 76
4.2.2 矩形 76
4.2.3 菱形 77
4.2.4 平行四边形 78
4.2.5 梯形 78
4.3 圆 79
4.3.1 圆的性质 79
4.4 圆幂定理 84
4.5 复杂图形的面积 90
4.6 复杂图形的长度 91
4.7 角度推导 92
4.8 多边形 93
4.8.1 多边形的角 93
4.8.1.1 六边形 95
4.8.1.2 八边形 96
4.9 圆内接四边形 97
4.10 3D几何 100
4.10.1 立方体 100
4.10.2 长方体 100
4.10.3 圆柱体 101
4.10.4 圆锥体 102
4.10.5 球体 103
4.10.6 四面体 104
4.10.7 棱锥 104
4.10.8 多面体 106
4.11 进阶公式 106
4.12 解析几何 111
4.12.1 坐标平面中的直线 111
4.12.2 坐标平面中的圆 112

5 三角学 114

5.1 三角恒等式 114
5.2 更多三角恒等式 115
5.3 重要三角函数值 116
5.4 单位圆恒等式 117
5.5 使用三角学的三角形面积 117
5.6 正弦定理 118
5.7 余弦定理 118
5.8 毕达哥拉斯恒等式 119
5.9 倍角恒等式 119
5.10 和差角恒等式 120
5.11 半角恒等式 120
5.12 和差化积恒等式 121
5.13 积化和差恒等式 121
5.14 三角函数的周期与图像 122

6 对数 123

6.1 基本定义 123
6.2 对数公式 124

7 复数 126

7.1 基本定义 126
7.2 共轭复数 127
7.3 复根 127
7.4 复平面 127
7.5 极坐标形式 128
7.6 单位根 130
7.7 用于三角学的复数 131

8 额外技巧与策略 132

8.1 元解题技巧 132
8.2 粗心错误 137
8.3 最大化分数的其他策略 140

致谢 143

1. 从小学到高中数学竞赛你需要知道的一切

2. 如何准备AMC 10/12并晋级AIME和USA(J)MO

免费AMC 8进阶/MATHCOUNTS课程

AMC 8进阶/MATHCOUNTS课程详情

本课程涵盖AMC 8和MATHCOUNTS竞赛的一些进阶主题。以下是所涵盖主题的列表：

1. 分类讨论、补集计数、概率、星条旗方法、递推
2. 等差数列、等比数列、方程组
3. 数论、货币问题、GCD/LCM、三角形数
4. 角度推导、相似三角形、3D几何
5. Omega Learn数学竞赛
6. Omega Learn数学竞赛问题回顾
7. 在AMC 8中取得优异成绩所需了解的一切

2021年AMC 10/12视频解答

1. 2021年AMC 10A解答
2. 2021年AMC 12A解答
3. 2021年AMC 10B解答
4. 2021年AMC 12B解答

1.1 均值、中位数、众数

定义 1.1.1 (均值/平均数).

\[\mathrm{均值} = \mathrm{所有项的平均值} = \frac{\mathrm{所有项的总和}}{\mathrm{项数}} \]

定义 1.1.2 (众数).

\[\mathrm{众数} = \mathrm{出现次数最多的项} \]

备注 1.1.3

可能存在多个众数。如果题目说“唯一众数”，意味着只有一个众数。

定义 1.1.4 (中位数). 将数字按递增或递减顺序排列后：
如果项数为奇数，

\[\mathrm{中位数} = \mathrm{中间的数} \]

如果项数为偶数，

\[\mathrm{中位数} = \mathrm{中间两个数的平均值} \]

1.1.5.

这意味着调和平均数为

\[\frac{n}{\mathrm{所有}a_k\text{的倒数之和}} \]

1.2 等差数列

定义 1.2.1 (等差数列). 等差数列是一系列数字，其中连续项之间的差相同。

\[1,4,7,10,13,\ldots ,40 \]

是一个等差数列，因为连续项之间的差始终为3。

备注 1.2.2

注意，等差数列也可以有负的公差。例如，在等差数列

\[40,37,34,\ldots ,4,1 \]

中，公差为\(- 3\)。

定义 1.2.3 (等差数列符号). 通常，等差数列的项可以表示为：

\[a_1,a_2,a_3,a_4,\ldots ,a_n \]

其中

• \(d\) 是连续项之间的公差
• \(n\) 是项数

1.2.4 (等差数列的第n项)

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1)d \]

这基本上意味着等差数列的第n项等于

首项 \(+\) (项数 \(- 1\) ) \(\times\) (公差)

我们也有

\[a_{n} = a_{m} + (n - m)d \]

这意味着

第n项 \(=\) 第m项 \(+\) (项数 \(- m\) ) \(\times\) (公差)

定理 1.2.5 (等差数列的项数)

\[n = \frac{a_{n} - a_{1}}{d} +1 \]

本质上，

\[\mathrm{项数} = \frac{\mathrm{末项} - \mathrm{首项}}{\mathrm{公差}} +1 \]

1.2.6 (等差数列项的平均值)

\[\mathrm{项的平均值} = \frac{a_1 + a_n}{2} \]

\[\mathrm{项的平均值} = \frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n} \]

这本质上意味着

\[\mathrm{项的平均值} = \frac{\mathrm{首项} + \mathrm{末项}}{2} \]

\[\mathrm{项的平均值} = \frac{\mathrm{所有项的总和}}{\mathrm{项数}} \]

如果项数为偶数，\(x =\) 中间两项的平均值
如果项数为奇数，\(x =\) 中间项

定理 1.2.7 (等差数列所有项的和)

\[S_{n} = \frac{a_{1} + a_{n}}{2}\times n \]

这本质上意味着

所有项的和 \(=\) 项的平均值 \(\times\) 项数

我们也可以代入

\[a_{n} = a_{1} + (n - 1)d \]

得到

\[S_{n} = \frac{2a_{1} + (n - 1)\cdot d}{2}\times n \]

1.3 等比数列

定义 1.3.1 (等比数列). 等比数列是一系列数字，其中连续项之间的比相同。

\[1,2,4,8,16,32\ldots ,1024 \]

是一个等比数列，因为连续项之间的比始终为2。

定义 1.3.2 (等比数列符号). 通常，等比数列的项可以表示为：

\[g_{1},g_{2},g_{3},g_{4},\ldots ,g_{n} \]

其中

• \(r\) 是连续项之间的公比
• \(n\) 是项数

备注 1.3.3

注意，等比数列也可以有负的公比。例如，数列\(1, - 2, 4, - 8, \ldots , 512, - 1024\)的公比为\(- 2\)。

定理 1.3.4 (等比数列的第n项)

\[g_{n} = g_{1}\cdot r^{n - 1} \]

这基本上意味着

• 等比数列的第n项 \(=\) 首项 \(\times\) (公比)(^{\text{项数}-1})

计算第n项的一般形式

\[g_{n} = g_{m}\cdot r^{(n - m)} \]

这基本上意味着

\[\mathrm{第n项} = \mathrm{第m项}\times \mathrm{公比}^{(n - m)} \]

1.3.5 (有限等比数列的项数)

\[n = \log_{r}\left(\frac{g_{n}}{g_{1}}\right) + 1 \]

本质上，

项数 \(=\) 我们需要将\(g_{1}\)乘以\(r\)以得到\(g_{n}\)的次数加1。

定理 1.3.6 (有限等比数列所有项的和)

\[S_{n} = g_{1}\frac{(1 - r^{n})}{1 - r} \]

这本质上意味着

\[\mathrm{所有项的和} = \mathrm{首项}\times \frac{1 - \mathrm{公比}^{n}}{1 - \mathrm{公比}} \]

定理 1.3.7 (无穷等比数列所有项的和)

对于\(- 1< r< 1\)

\[S_{\infty} = \frac{g_{1}}{1 - r} \]

备注 1.3.8

该公式仅适用于\(|r|< 1\)，因为如果\(|r|\geq 1\)，和将发散或基本上是无穷大。我们只能求收敛等比数列的和，即其和趋近于一个常数值。例如：

\[1 + \frac{1}{2} +\frac{1}{4} +\frac{1}{8} +\dots = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2 \]

\[1 + \frac{1}{3} +\frac{1}{9} +\frac{1}{27} +\dots = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2} \]

1.4 特殊级数

1.4.1 (自然数求和公式)

\[1 + 2 + 3 + \dots +n = \frac{(n)(n + 1)}{2} \]

1.4.2 (奇数求和公式)

\[1 + 3 + 5 + \dots +(2n - 1) = n^2 \]

简单来说，

前n个奇数的和 \(= n^2\)

1.4.3 (偶数求和公式)

\[2 + 4 + 6 + \dots +2n = n(n + 1) \]

直观思考，只需从每一项中提出公因子2

\[2(1 + 2 + 3 + \dots +n) = 2\frac{(n)(n + 1)}{2} = n(n + 1) \]

简单来说，

前n个偶数的和 \(= 2\times\) 前n个数的和

1.4.4 (平方和公式)

\[1^{2} + 2^{2} + \dots +n^{2} = \frac{(n)(n + 1)(2n + 1)}{6} \]

1.4.5 (立方和公式)

\[1^{3} + 2^{3} + \dots +n^{3} = \left(\frac{(n)(n + 1)}{2}\right)^{2} \]

1.5 裂项相消

概念 1.5.1 (裂项相消) 展开前几项和后几项，并消去任何能消去的项。

备注 1.5.2

通常，当你遇到看起来很难或不可能手动计算的冗长表达式时，裂项相消可能在其中起作用。

概念 1.5.3 (部分分式分解)

部分分式分解是一种裂项相消技巧，你将项拆分成多个项以便项能够相消。通常，要找到\(\frac{1}{ab}\)对于任意变量a和b的部分分式分解，我们写出方程

\[\frac{x}{a} +\frac{y}{b} = \frac{1}{ab} \]

然后解出\(\mathbf{x}\)和y。例如，\(\frac{1}{n(n + 1)}\)的部分分式分解（这里\(a = n\)且\(b = n + 1\)）是

\[\frac{1}{n} -\frac{1}{n + 1} \]

使用部分分式分解，我们可以轻松地进行裂项相消并求值表达式。

1.6 速度、距离和时间

1.6.1

\[\mathrm{速度} = \frac{\mathrm{距离}}{\mathrm{时间}} \]

等价地，

\[\mathrm{时间} = \frac{\mathrm{距离}}{\mathrm{速度}} \]

1.6.2

\[\mathrm{平均速度} = \frac{\mathrm{总距离}}{\mathrm{总时间}} \]

1.6.3

一个常见的错误是假设平均速度是所有速度的平均值（特别是当您以每种速度行驶的距离相同时）。请记住，只有当您以这些速度行驶相同的时间时，这才成立！

1.7 工作量、速率和时间

1.7.1

\[\mathrm{工作量} = \mathrm{速率}\times \mathrm{时间} \]

等价地，

\[\mathrm{速率} = \frac{\mathrm{工作量}}{\mathrm{时间}} \]

\[\mathrm{时间} = \frac{\mathrm{工作量}}{\mathrm{速率}} \]

1.8 方程组

概念 1.8.1 (方程组应用题) 这是AMC 10中尤其最常见的主题之一。解决这类问题的技巧就是为问题中的未知数分配变量并求解。

概念 1.8.2 (解方程组)

一旦你在应用题中找到了方程组，和/或问题本身给出了一个方程组，你应该考虑以下一种或多种方法来求解它们。

1. 代入法
2. 消元法
3. 对角乘积法（仅适用于二元方程）
4. 方程相加/相减法
5. 留意常见的因式分解技巧（见因式分解部分）
6. 使用韦达定理从方程构造多项式（见多项式部分）
7. 绘制方程图像（我建议你使用方格纸）
8. 利用对称性
9. 使用几何公式（如余弦定理、海伦公式、正弦面积公式、斯图尔特定理、三角恒等式）创建几何设置

（有关这些公式的信息，请参阅几何部分）

1.9 多项式

概念 1.9.1 (判别式)

在二次求根公式中，

\[b^{2} - 4ac \]

（根号内的部分）是二次方程的判别式。

1. 如果判别式\(b^{2} - 4ac\)为0，则二次方程有一个重根。
2. 如果判别式\(b^{2} - 4ac\)为正，则二次方程有两个不同的实根。
3. 如果判别式\(b^{2} - 4ac\)为负，则二次方程没有实根。

备注 1.9.2

还要注意，仅当判别式\(b^{2} - 4ac\)是一个完全平方数时，二次方程才有整数解。

定理 1.9.3 (二次求根公式)

二次方程

\[ax^{2} + bx + c = 0 \]

的解为

\[x = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \]

1.9.4 (二次方程的韦达定理) 在二次方程\(ax^{2} + bx + c = 0\)中，其根的和为\(\frac{-b}{a}\)，根的积为\(\frac{c}{a}\)。

定理 1.9.5 (高次多项式的韦达定理)

在一个多项式

\[a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x + a_{0} = 0 \]

中，其根为

\[r_1,r_2,r_3,\ldots r_n \]

以下关系成立：

\[r_1 + r_2 + r_3 + \ldots +r_n(\mathrm{所有}1\text{个根乘积的和}) = -\frac{a_{n - 1}}{a_n} \]

\[r_1r_2 + r_1r_3 + \ldots +r_{n - 1}r_n(\mathrm{所有}2\text{个根乘积的和}) = \frac{a_{n - 2}}{a_n} \]

\[r_1r_2r_3 + r_1r_2r_4 + \ldots +r_{n - 2}r_{n - 1}r_n(\mathrm{所有}3\text{个根乘积的和}) = -\frac{a_{n - 3}}{a_n} \]

\[r_1r_2r_3\ldots r_n(\mathrm{所有}n\text{个根乘积的和}) = (-1)^n\frac{a_0}{a_n} \]

注意正负号交替。当对奇数个根求乘积和时，我们将有负号，否则我们将有正号。

1.9.6 (有理根定理) 在一个多项式\(P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots a_{1}x^{1} + a_{0}\)中，其中\(a_{n}\)非零且每个\(a_{i}\)是整数，多项式的所有有理根\(\pm \frac{p}{q}\)必须满足：

\(p\) 整除 \(a_{0}\)
\(q\) 整除 \(a_{n}\)

本质上，

所有分数根的分子整除多项式的常数项，所有分数根的分母整除最高次项系数。

推论 1.9.7 (整数根定理)

在一个多项式

\[P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots a_{1}x^{1} + a_{0} \]

中，其中\(a_{n}\)非零且每个\(a_{i}\)是整数。

多项式的所有整数根必须整除\(a_{0}\)，即多项式的常数项。

备注 1.9.8

这意味着对于首项系数为1的多项式（首一多项式），唯一的有理根将是整数。

定理 1.9.9 (余数定理)

当多项式\(P(x)\)除以\(x - r\)时，余数为\(P(r)\)。

推论 1.9.10 (因式定理) 如果\(P(r) = 0\)，则\(x - r\)能整除多项式\(P(x)\)。

这是余数定理的直接结果。

定理 1.9.11 (用根表示多项式)

在一个多项式

\[P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \dots +a_{1}x^{1} + a_{0} \]

中，它可以表示为

\[a_{n}(x - r_{1})(x - r_{2})(x - r_{3})\dots (x - r_{n}) \]

其中\(r_1,r_2,r_3,\ldots ,r_n\)是多项式的\(n\)个根。

推论 1.9.12 (用根表示首一多项式) 在一个多项式

\[P(x) = x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots a_{1}x^{1} + a_{0} \]

（首项系数为1）中，它可以表示为

\[(x - r_{1})(x - r_{2})(x - r_{3})\ldots (x - r_{n}) \]

其中\(r_1,r_2,r_3,\ldots ,r_n\)是多项式的\(n\)个根。

定理 1.9.13 (代数基本定理)

一个\(n\)次多项式（最高次项指数为\(n\)）有\(n\)个复根（计重数，例如，重根在计重数时算作2个根）。

定理 1.9.14 (共轭根定理)

如果\(a + bi\)是实系数多项式的一个根，那么\(a - bi\)也是它的一个根。

定理 1.9.15

如果\(a + b\sqrt{c}\)是有理系数多项式的一个根，那么\(a - b\sqrt{c}\)也是它的一个根。

1.9.1 多项式操作

概念 1.9.16 (倒数根)

在一个多项式

\[P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x + a_{0} \]

中，其根为\(r_1,r_2,r_3,\ldots ,r_n\)。

那么多项式

\[Q(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \ldots +a_{n - 1}x + a_{n} \]

的根将是

\[\frac{1}{r_1},\frac{1}{r_2},\ldots ,\frac{1}{r_n} \]

本质上，翻转多项式的系数时，新多项式的根将是原根的倒数。

概念 1.9.17 (根加减常数)

在一个多项式

\[P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x + a_{0} \]

中，其根为\(r_1,r_2,r_3,\ldots ,r_n\)。

那么多项式

\[Q(x) = a_{n}(x - k)^{n} + a_{n - 1}(x - k)^{n - 1} + \ldots +a_{1}(x - k) + a_{0} \]

的根将是

\[r_1 + k,r_2 + k,r_3 + k,\ldots ,r_n + k \]

备注 1.9.18

请记住，如果根增加了k，那么我们需要从多项式中的每个\(x\)项减去k。

备注 1.9.19

多项式操作在根据根求复杂表达式的值时很有用。例如，为了求一个根为\(r,s,t\)的多项式的

\[\frac{1}{(r - 3)^3} +\frac{1}{(s - 3)^3} +\frac{1}{(t - 3)^3} \]

的值，与其展开并使用韦达定理暴力计算，我们可以通过上述方法构造一个以\(\frac{1}{(r - 3)^3}, \frac{1}{(s - 3)^3}, \frac{1}{(t - 3)^3}\)为根的新多项式，然后直接求这个多项式的根之和。

定理 1.9.20 (牛顿和)

在一个多项式

\[P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + ... + a_{1}x + a_{0} \]

中，其根为

\[r_1, r_2, r_3, \ldots , r_n \]

令
\(S_1 = r_1 + r_2 + \cdots + r_n\)
\(S_2 = r_1^2 + r_2^2 + \cdots + r_n^2\)
...
\(S_k = r_1^k + r_2^k + \cdots + r_n^k\)
...

那么以下关系成立：

\[a_n S_1 + a_{n-1} = 0 \]

\[a_n S_2 + a_{n-1} S_1 + 2a_{n-2} = 0 \]

\[a_n S_3 + a_{n-1} S_2 + a_{n-2} S_1 + 3a_{n-3} = 0 \]

...

注意，下标为负的系数视为0，这可能出现在展开中。

本质上，这意味着：

1. 从\(S_k\)开始，将其乘以最左边的多项式系数。
2. 然后，将\(S_{k-1}\)乘以紧接着的下一个多项式系数。
3. 继续这样做并将乘积相加，直到：
   • \(k = 0\)，此时我们乘以\(k\)而不是最后一个系数\(a_{n-k}\)
   • 或者\(a_{n-i}\)变为0，此时我们只需加上最后一项并停止
4. 将最终的和设为等于0。

1.9.21

如果

\[x + \frac{1}{x} = a \]

那么

\[x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = a^{2} - 2 \]

\[x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = a^{3} - 3a \]

\[x^{4} + \frac{1}{x^{4}} = (a^{2} - 2)^{2} - 2 \]

1.9.22 (对称多项式). 一个多项式

\[P(x) = a_{n}x^{n} + a_{n - 1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x + a_{0} \]

是对称的，如果

\[a_{n} = a_{0},\quad a_{n - 1} = a_{1},\quad a_{n - 2} = a_{2},\quad a_{n - 3} = a_{3},\quad \text{等等}. \]

基本上，相反位置的系数相等。

概念 1.9.23 (解偶次对称多项式) 为了解一个偶次对称多项式\(P(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \ldots +a_{1}x + a_{0}\)，

除以\(x^{\frac{n}{2}}\)
将\(x^{{k}\)和\(\frac{1}{x}{k}}\)项分组
代入\(y = x + \frac{1}{x}\)
并将表达式中的所有项都用这种方式表示
解降次后的多项式

1.10 代数变形

1.10.1 二次因式分解

定理 1.10.1 (指数法则)

\[x^{-a} = \frac{1}{x^a} \]

\[x^a\times x^b = x^{a + b} \]

\[x^a\div x^b = x^{a - b} \]

\[(x^a)^b = x^{ab} \]

定理 1.10.2 (平方差公式)

\[x^{2} - y^{2} = (x - y)(x + y) \]

1.10.3 (二项式平方展开)

\[(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} = (x - y)^{2} + 4xy \]

\[(x - y)^{2} = x^{2} - 2xy + y^{2} = (x + y)^{2} - 4xy \]

\[(x + y)^{2} + (x - y)^{2} = 2(x^{2} + y^{2}) \]

\[(x + y)^{2} - (x - y)^{2} = 4xy \]

\[(x + y + z)^{2} = x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2(xy + yz + xz) \]

1.10.2 西蒙的因式分解技巧

定理 1.10.4 (西蒙的因式分解技巧)

\[xy + kx + jy + jk = (x + j)(y + k) \]

备注 1.10.5

当你看到\(xy\)、\(x\)和\(y\)项时，通常可以应用这种因式分解。应用因式分解后，你可以找出因式中每个项的所有可能值（记住负数！）。

1.10.3 三次因式分解

定理 1.10.6 (立方差公式) \(x^{3} - y^{3} = (x - y)(x^{2} + xy + y^{2})\)

定理 1.10.7 (立方和公式) \(x^{3} + y^{3} = (x + y)(x^{2} - xy + y^{2})\)

定理 1.10.8 (二项式立方展开)

\[(x + y)^{3} = x^{3} + 3xy(x + y) + y^{3} \]

\[(x + y)^{3} = x^{3} + 3x^{2}y + 3xy^{2} + y^{3} \]

\[(x - y)^{3} = x^{3} - 3xy(x - y) - y^{3} \]

\[(x - y)^{3} = x^{3} - 3x^{2}y + 3xy^{2} - y^{3} \]

\[(x + y + z)^{3} - 3xyz = (x + y + z)(x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - xz - yz) \]

1.10.4 高次幂因式分解

定理 1.10.9 (n次幂因式分解)

奇数次幂的和

\[x^{2n + 1} + y^{2n + 1} = (x + y)(x^{2n} - x^{2n - 1}y + x^{2n - 2}y^{2} - \dots - xy^{2n - 1} + y^{2n}) \]

注意：第二项中的符号在正负之间交替。

\[x^{n} - y^{n} = (x - y)(x^{n - 1} + x^{n - 2}y + x^{n - 3}y^{2} + \dots + xy^{n - 2} + y^{n - 1}) \]

注意：第二项中的符号全部为正。

1.10.5 索菲·热尔曼恒等式

定理 1.10.10 (索菲·热尔曼恒等式)

\[x^{4} + 4y^{4} = (x^{2} - 2xy + 2y^{2})(x^{2} + 2xy + 2y^{2}) \]

备注 1.10.11

留意4次方，以便应用索菲·热尔曼恒等式！

概念 1.10.12 (代数变形技巧) 以下是一些代数变形的思路：

1. 将相似的项分组在一起
2. 留意因式分解
3. 利用对称性，可以用它来构造多项式
4. 进行巧妙的代换以简化表达式（例如，如果表达式多次出现\(\sqrt{49 - x^2}\)，只需令\(y = \sqrt{49 - x^2}\)来简化它）

1.11 取整函数与取顶函数

定义 1.11.1 (取整、取顶和小数部分函数).

\[\left\lfloor x\right\rfloor = \mathrm{小于或等于}x\text{的最大整数} \]

\[\left\lceil x\right\rceil = \mathrm{大于或等于}x\text{的最小整数} \]

\[\{x\} = x\text{的小数部分（小数点后的值）} \]

备注 1.11.2 [常见取整/取顶问题技巧]

大多数取整/取顶问题都可以用这些技巧解决。

1. 代入\(x = \lfloor x\rfloor +{x}\)
2. 使用取整或取顶函数得到一个不等式。例如，如果你知道\(y = \lfloor x\rfloor\)，那么\(y\leq x< y + 1\)。
3. 绘制方程图像并寻找交点（我们建议使用方格纸）。

1.12 不等式

定理 1.12.1 (平凡不等式)

对于实数\(x\)，有\(x^{2}\geq 0\)。

这意味着所有完全平方数都大于或等于0。

推论 1.12.2 (配方法)

在二次式\(Q(x) = ax^{2} + bx + c\)中，

如果\(a > 0\)，那么\(Q(x)\)的最小值是\(c - \frac{b^{2}}{4a}\)，在\(x = - \frac{b}{2a}\)时取到。
如果\(a < 0\)，那么\(Q(x)\)的最大值是\(c - \frac{b^{2}}{4a}\)，在\(x = - \frac{b}{2a}\)时取到。

备注 1.12.3

简单却强大。这是所有不等式的基础，也是更高级不等式的推导来源。

其余的不等式对于AMC 10来说是选学内容，但了解它们仍然有好处。

定理 1.12.4 (二元AM-GM不等式)

对于非负实数a和b，

\[\frac{a + b}{2}\geq \sqrt{ab} \]

基本上，这意味着两个非负数的平均值（算术平均）总是至少等于它们乘积的平方根（几何平均）。

注意，当\(a = b\)时，此式取等号。

推论 1.12.5

\(x + \frac{1}{x}\)的最小值是2，在\(x = 1\)时取到。

推论 1.12.6 - 如果\(ab\)保持不变，\(a + b\)的最小值在\(a = b\)时取到。
如果\(a + b\)保持不变，\(ab\)的最大值在\(a = b\)时取到。

定理 1.12.7 (多元AM-GM不等式)

对于非负实数\(a_1, a_2, \ldots , a_n\)，

\[\frac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{n}\geq \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \cdots\cdot a_n} \]

注意，当\(a_1 = a_2 = \dots = a_n\)时取等号。

换句话说，

n个数的平均值 \(\geq\) n个数的乘积的n次方根。

备注 1.12.8

这意味着，通常，

\[\min (a_1 + a_2 + a_3 + \dots +a_n) = n\cdot \sqrt[n]{a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \dots\cdot a_n} \]

\[\max (a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \dots\cdot a_n) = \left(\frac{a_1 + a_2 + \dots + a_n}{n}\right)^n \]

备注 1.12.9

通常，我们使用AM-GM来最大化乘积或最小化和。

定理 1.12.10 (加权AM-GM不等式)

对于非负实数\(a_{i}, c_{i}\),

\[\frac{c_1 a_1 + c_2 a_2 + \cdots + c_n a_n}{c_1 + c_2 + \cdots + c_n}\geq \sqrt[c_1 + c_2 + \cdots + c_n]{a_1^{c_1} a_2^{c_2} \cdots a_n^{c_n}} \]

备注 1.12.11

加权AM-GM与AM-GM非常相似。理解加权AM-GM的一种方式是，有\(c_k\)个项都等于\(a_k\)。因此，在求和中我们不用写\(a_k\)重复\(c_k\)次，而是简单地写成\(a_k \cdot c_k\)；在乘积中我们不用写\(a_k\)重复\(c_k\)次，而是简单地写成\(a_k^{c_k}\)。

备注 1.12.12

当我们试图通过给所有（或部分）项乘以权重来使总和为常数时，我们使用加权AM-GM。记住最后要除以所乘的权重。

1.12.13 (柯西-施瓦茨不等式)

对于实数\(a_{i}\)和\(b_{i}\)，

\[(a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + \dots + a_{n} b_{n})^{2}\leq (a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + \dots a_{n}^{2})(b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + \dots b_{n}^{2}) \]

这意味着

（所有\(a_{k}\)和\(b_{k}\)乘积的和）\(^{2}\leq\)（所有\(a_{k}\)的平方和）与（所有\(b_{k}\)的平方和）的乘积。

当所有i的\(\frac{a_i}{b_i}\)比值相同时取等号。

备注 1.12.14

如果你忘记不等号朝向哪边，只需尝试一个小例子，比如\(a_{1} = 1\)，\(a_{2} = 2\)，\(b_{1} = 3\)，和\(b_{2} = 4\)。

备注 1.12.15

当你处理平方和时，通常想应用柯西-施瓦茨不等式。

推论 1.12.16 (蒂图引理)

对于实数\(a_{i}\)和\(b_{i}\)，

\[\frac{a_{1}^{2}}{b_{1}} +\frac{a_{2}^{2}}{b_{2}} +\dots +\frac{a_{n}^{2}}{b_{n}}\geq \frac{(a_{1} + a_{2} + \dots +a_{n})^{2}}{b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots +b_{n}} \]

或者，

\[\frac{a_{1}}{b_{1}} +\frac{a_{2}}{b_{2}} +\dots +\frac{a_{n}}{b_{n}}\geq \frac{(\sqrt{a_{1}} + \sqrt{a_{2}} + \dots + \sqrt{a_{n}})^{2}}{b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots +b_{n}} \]

注意，这是柯西-施瓦茨不等式的直接结果。

1.12.17 (使用不等式的步骤)

1. 尝试使用一个（或可能更多）不等式找到另一个简单的表达式，使得最大值大于或等于给定的表达式，或者最小值小于给定的表达式。
   (a) 平凡不等式
   (b) AM-GM
   (c) 加权AM-GM（加权和未加权的AM-GM有助于最大化乘积和最小化和）
   (d) 柯西-施瓦茨（柯西-施瓦茨在处理平方和时很有用）
2. 验证不等式取等条件在问题条件下是否成立。
3. 简化取等条件并求解答案。

2 数论

2.1 质数

定义 2.1.1 (质数). 质数是恰好有两个因数的数：1和它本身。例如，2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 等等都是质数。

注意：1不是质数，2是唯一的偶质数。

备注 2.1.2

为了检查一个数\(n\)是否为质数，我们需要检查所有小于或等于\(\sqrt{n}\)的质数。

概念 2.1.3 (质因数分解) 质因数分解是一种将每个数表示为质数乘积的方式。

例如：
21的质因数分解是\(3 \times 7\)。
60的质因数分解是\(2^{2} \times 3 \times 5\)。

定理 2.1.4 (一个数的因数个数) 如果一个数的质因数分解表示为：

\[p_1^{e_1}\times p_2^{e_2}\times \dots \times p_k^{e_k} \]

那么这个数的因数个数为

\[(e_1 + 1)(e_2 + 1)\ldots (e_k + 1) \]

备注 2.1.5

基本上，要找到一个数的因数个数：

1. 找出该数的质因数分解。
2. 将所有指数加1。
3. 将它们相乘。

概念 2.1.6 (整除性规则)

除数	规则
2	末位数字是偶数
3	各位数字之和能被3整除
4	末两位数字能被4整除
5	末位数字是0或5
6	能被2和3整除
7	不断提取因数7，直到得到一个小的数字，看它是否能被7整除
8	末三位数字能被8整除
9	各位数字之和能被9整除
10	末位数字是0
11	计算奇数位数字之和（O）与偶数位数字之和（E）。如果 |O - E| 能被11整除，则该数也能被11整除。
12	能被3和4整除
15	能被3和5整除

2.2 整数序列

2.3 回文数

定义 2.3.1. 回文数是正读反读都相同的数字。

2.4 最大公约数/最小公倍数

定义 2.4.1 (最大公约数). 两个或多个整数（不全为零）的最大公约数是能整除每个整数的最大正整数。

注意：这也被称为GCF（最大公因数），术语GCF和GCD通常可以互换使用。

定义 2.4.2 (最小公倍数). 两个或多个整数（不全为零）的最小公倍数是能被这两个数整除的最小正整数。

2.4.3 GCD/LCM 可以通过取m和n质因数分解中的最小质数指数来找到m和n的最大公约数\(GCD(m,n)\)。

可以通过取m和n质因数分解中的最大质数指数来找到m和n的最小公倍数\(LCM(m,n)\)。

定理 2.4.4

两个数的GCD和LCM的乘积等于这两个数的乘积：

\[GCD(m,n)\cdot LCM(m,n) = m\cdot n \]

定理 2.4.5

如果两个数有公因子\(c\)，那么

\[\gcd (ac,bc) = c\cdot \gcd (a,b) \]

定理 2.4.6 (欧几里得算法)

欧几里得算法指出

\[\gcd(x,y) = \gcd(x - ky,y) \]

其中\(x > y\)且\(k\)是正整数。

备注 2.4.7

我们可以多次应用欧几里得算法来轻松找到大数的GCD，因为应用欧几里得算法后，我们得到两个较小的数，可以再次应用欧几里得算法，直到得到两个非常小的数。

例如，

\[{\gcd(186,92)={\gcd((186-(2\cdot92)),92)}} \]

\[{={\gcd(2,92)}} \]

\[{={\gcd(2,(92-(2\cdot46)))}} \]

\[{={\gcd(2,0)}} \]

\[{=2} \]

定理 2.4.8 (贝祖等式) 方程

\[ax + by = c \]

存在整数解当且仅当\(\gcd (a,b)\)能整除\(c\)。

2.5 模运算

定义 2.5.1.

\[n\equiv a\pmod{b} \]

表示数字'n'除以\(b\)时与'a'有相同的余数。

定理 2.5.2

如果\(a \equiv x \pmod{n}\)且\(b \equiv y \pmod{n}\)，那么

\[ab \equiv xy \pmod{n} \]

定理 2.5.3

如果\(a \equiv x \pmod{n}\)，那么

\[a^{m} \equiv x^{m} \pmod{n} \]

定理 2.5.4 (欧拉 totient 函数)

如果数n的质因数分解为

\[p_1^{e_1} \cdot p_2^{e_2} \cdot p_3^{e_3} \cdot \dots \cdot p_n^{e_n} \]

那么

\[\phi (n) = n \cdot \left(1 - \frac{1}{p_1}\right) \left(1 - \frac{1}{p_2}\right) \dots \left(1 - \frac{1}{p_n}\right) \]

其中\(\phi (n)\)表示小于或等于n且与n互质的正整数的个数。

求一个数的totient函数的步骤：

1. 找出质因数分解。
2. 对于所有质数，计算并相乘\(1 - \frac{1}{p_i}\)。
3. 将这个乘积乘以数n以得到totient值。

定理 2.5.5 (欧拉定理)

\[a^{\phi (n)} \equiv 1 \pmod{n} \]

当且仅当

\[\gcd(a,n) = 1 \]

推论 2.5.6 (费马小定理)

\[a^{p - 1}\equiv 1\pmod {p} \]

当且仅当\(p\)是质数且

\[\gcd(a,p) = 1 \]

注意，这直接来自欧拉定理。

事实 2.5.7. 对于任何整数x，

\[x^{2}\equiv 0,1\pmod {3} \]

\[x^{2}\equiv 0,1\pmod {4} \]

概念 2.5.8

如果a被称为b（模\(n\)）的模逆，那么

\[ab\equiv 1\pmod {n} \]

我们也写成

\[a^{-1}\equiv b\pmod {n} \]

因为a和b（模\(n\)）互为逆元。

定理 2.5.9 (威尔逊定理)

\[(p - 1)!\equiv -1\pmod {p} \]

定理 2.5.10 (中国剩余定理) 如果一个正数x满足

\[x\equiv a_1 \pmod{n_1} \]

\[x\equiv a_2 \pmod{n_2} \]

\[\vdots \]

\[x\equiv a_k \pmod{n_k} \]

其中所有\(n_i\)互质，那么x在模\(n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \ldots n_k\)下有唯一解。

备注 2.5.11

要小心！如果任何\(n_i\)有公因数，这可能不成立，因为同余式可能会相互矛盾。

2.5.12 (解线性同余方程组) 要解包含两个同余式的线性同余方程组，你可以：

• 猜测并检查，直到找到一个值同时满足两个模数。
• 代数方法：
  1. 找到两个同余式：
     \[n\equiv r_1\pmod{m_1} \]
     \[n\equiv r_2\pmod{m_2} \]
     使得\(m_1\)和\(m_2\)互质。
  2. 将它们代数地重写：
     \[n = k m_1 + r_1 \]
     \[n = j m_2 + r_2 \]

  3. 在模\(m_2\)下（假设\(m_2 > m_1\)）令它们相等：
     \[k m_1 + r_1 \equiv r_2 \pmod{m_2} \Rightarrow m_1 k \equiv (r_2 - r_1) \pmod{m_2} \]

  4. 猜测并检查以找到\(k^{-1} \pmod{m_2}\)的值。
  5. 使用\(k\)模\(m_2\)的值，将其代数地重写。
  6. 将其代回表达式\(n = k m_1 + r_1\)。
  7. 将其转换回同余式以得到最终的模方程。

概念 2.5.13

方程组

\[n\equiv r_1\pmod{m_1} \]

\[n\equiv r_2\pmod{m_2} \]

的解是

\[n\equiv r_1 + m_1 (r_2 - r_1) \cdot i \pmod{m_1 m_2} \]

其中\(i \equiv m_1^{-1} \pmod{m_2}\)。

2.6 不定方程

定义 2.6.1. 不定方程是一个多项式方程，其感兴趣的解决方案是整数解（整数解意味着所有变量都取整数值）。

概念 2.6.2 (解不定方程的策略) 以下是一些解不定方程的思路：

• 对不同数取模。这通常用于：
  1. 证明一个不定方程无解。
  2. 证明只有特定类型的解。
• 你可以尝试界定不同项的可能值。当你的不定方程有有限个解时，这通常很有用。
• 因式分解，使用各种因式分解（见代数部分），可以帮助找到所有解。
• 进行代换以简化你的不定方程。
• 寻找关于变量必须是倍数/除数的条件，并据此重写你的不定方程。

2.7 进制

定义 2.7.1 (进制). 以n为基表示的数字与以10为基类似，区别在于不是每10个数字就进位到新的数位，而是每n个数字进位一次。

一个以n为基的数字，其数字为\(a_{m}, a_{m-1}, \ldots, a_{2}, a_{1}, a_{0}\)，可以表示为

\[a_{0}\cdot n^{0} + a_{1}\cdot n^{1} + a_{2}\cdot n^{2} + \ldots + a_{m-1}\cdot n^{m-1} + a_{m}\cdot n^{m} \]

其中所有\(a_{i}\)都是该数的数字。

定理 2.7.2 (鸡块定理)

如果\(a\)和\(b\)互质，则不能用\(a\)和\(b\)的非负倍数之和表示的最大整数是\(ab - a - b\)。

对于互质的正整数\(a, b\)，恰好有\(\frac{(a - 1)(b - 1)}{2}\)个正整数不能表示为\(ma + nb\)的形式，其中\(m\)和\(n\)是正整数。

备注 2.7.3

该定理在解决诸如“用3分和5分硬币无法组成的最多钱数”这类问题时很有用。

2.8 P-进赋值

定义 2.8.1. [Vp记号] \(v_{p}(n)\)定义为n的质因数分解中p的指数。

例如，\(v_{5}(75) = 2\)，因为75有2个因子5。\(v_{2}(27) = 0\)，因为27是奇数，没有因子2。

2.8.2 (Vp指数公式)

\[v_{p}(n^{k}) = k\cdot v_{p}(n) \]

这基本上意味着数\(n^k\)中p的幂次是n中p的幂次的k倍。

定理 2.8.3 (Vp乘积公式)

\[v_{p}(ab) = v_{p}(a) + v_{p}(b) \]

这基本上意味着

ab中p的指数 = a中p的指数 + b中p的指数

定理 2.8.4 (Vp除法公式)

\[v_{p}(\frac{a}{b}) = v_{p}(a) - v_{p}(b) \]

这基本上意味着

\(\frac{a}{b}\)中p的指数 = a中p的指数 - b中p的指数

定理 2.8.5 (Vp求和公式)

如果\(v_{p}(a) \neq v_{p}(b)\)，那么

\[v_{p}(a + b) = \min(v_{p}(a), v_{p}(b)) \]

如果\(v_{p}(a) = v_{p}(b)\)，那么

\[v_{p}(a + b) \geq \min(v_{p}(a), v_{p}(b)) \]

定理 2.8.6 (奇素数p的升指数引理) 如果

\[a \equiv b \not\equiv 0 \pmod{p} \]

那么

\[v_{p}(a^{n} - b^{n}) = v_{p}(a - b) + v_{p}(n) \]

这基本上意味着，如果a和b除以p时余数相同且不为0，那么\(a^{n} - b^{n}\)中p的指数等于\((a - b)\)中p的指数加上n中p的指数。

备注 2.8.7

要非常小心第一个加粗的条件！还要记住，此公式中的p不能是2！有时，当我们不能直接对指数应用LTE时，我们可以通过重写指数项来修改指数。

定理 2.8.8 (p=2时的升指数引理)

\[v_{2}(a^{n} - b^{n}) = v_{2}(a^{2} - b^{2}) + v_{2}(n) - 1 \]

这基本上意味着

\(a^{n} - b^{n}\)中2的指数 = (\(a^{2} - b^{2}\)中2的指数) + (n中2的指数) - 1

定理 2.8.9 (勒让德定理)

\[v_{p}(n!) = \left\lfloor \frac{n}{p}\right\rfloor +\left\lfloor \frac{n}{p^{2}}\right\rfloor +\ldots \]

这基本上意味着

n!中p的因子个数 =
\(\leq n\)的p的倍数的个数 + \(\leq n\)的\(p^2\)的倍数的个数 + ...

3 计数与概率

3.1 基本定义

3.1.1 阶乘

定义 3.1.1. 阶乘是小于或等于给定正整数的所有正整数的乘积。换句话说，\(n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 1\)。

定理 3.1.2 (组合学中的阶乘)

将n个对象排成一条直线的方式数为\(n!\)。

将n个对象排成一个圆圈，旋转后相同的排列不视为不同的方式数为\((n - 1)!\)。

将n个对象排成一个圆圈，旋转后相同的排列和镜像反射后相同的排列都不视为不同的方式数为\(\frac{(n - 1)!}{2}\)。

3.1.2 组合

定义 3.1.3. 组合是对象集合中一种可能的选取方式，其中选取的顺序不重要。

3.1.4 (组合公式) 从总共n个对象中选取k个对象的方式数为

\[\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n - k)!} = \frac{n\cdot(n - 1)\cdot\cdots\cdot(n - k + 1)}{k!} \]

备注 3.1.5

第二种计算组合表达式的方式在数学竞赛中更快。

备注 3.1.6

注意\(\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}\)。

这是真的，因为左边选择k个对象等同于右边选择哪些k个对象不被选中。

3.1.3 排列

定义 3.1.7. 排列是集合中对象的一种可能排序，其中对象的顺序很重要。

定理 3.1.8 (排列公式)

从总共n个对象中选出k个对象并按顺序排列的方式数为

\[^{n}P_{k} = \frac{n!}{(n - k)!} \]

备注 3.1.9

通常，“排列”、“顺序重要”等词暗示着排列，而“选择”、“选取”、“顺序不重要”等词暗示着组合。

3.1.4 子集

定理 3.1.10

一个大小为n的集合的子集个数为\(2^{n}\)。

备注 3.1.11

对于集合中的每个元素，我们有两个选择：是否将该元素包含在我们的子集中。这意味着其中一个子集是空子集，即我们决定不包含任何元素。如果题目要求计算子集，请务必检查是否应计入空子集。

3.2 组合策略

3.2.1 补集计数

补集计数是一种解题技巧，通过计算所需情况的对立面，然后从总情况数中减去它。关键词“至少”可能表明补集计数会有帮助。

3.2.2 重计数

重计数是指先计数超出所需的数量，然后系统性地减去不属于的部分的过程。

3.2.3 分类讨论

许多计数或概率问题可以通过将问题划分为几种情况，分别计算每种情况下的排列和概率，然后将它们相加来解决。

备注 3.2.1

分类讨论是解决组合问题的非常有用的策略，尤其是在没有其他明显方法时。

3.3 进阶概念

定理 3.3.1 (单词重排)

将一个单词的字母排序的方式数为

\[\frac{n!}{d_1! \times d_2! \times d_3! \times \ldots} \]

其中\(n\)是字母总数，\(d_1, d_2, d_3, \ldots\)是单词中每个出现次数超过一次的字母的出现次数。

备注 3.3.2

这不仅适用于单词！排列对象或其他任何东西的方式数也是相同的。

3.3.3

在一个大小为\(m \times n\)的矩形网格中，所有大小的矩形总数为

\[\binom{m+1}{2} \times \binom{n+1}{2} \]

备注 3.3.4

每两条水平线和两条垂直线的组合都能唯一确定一个矩形。我们有\(\binom{m+1}{2}\)种选择两条水平线的方式和\(\binom{n+1}{2}\)种选择两条垂直线的方式。

备注 3.3.5

组合学的类似应用是经典问题：一个n边形内有多少个对角线交点？因为我们知道一个交点由两条线（对角线）相交而成，而每条线由两个顶点确定，所以交点个数就是\(\binom{n}{4}\)。

3.3.2 星条旗方法

定理 3.3.6 (星条旗方法) 将n个相同的物体放入k个可区分的盒子中的方法数为

\[\binom{n+k-1}{n} \]

备注 3.3.7

这样做的原因是你可以考虑将\(k - 1\)个隔板放置在n个物体中，这有\(\binom{n+k-1}{n}\)种排列方式。理解这一点很重要，因为问题可能会对星条旗方法进行一些修改...

备注 3.3.8

星条旗方法非常有用，并且通常可以根据情况进行调整。例如，如果每个盒子必须至少包含1个物体，我们首先给每个盒子分配1个物体，然后用\(n - k\)个物体和k个可区分的盒子应用公式。

3.3.3 二项式定理

定理 3.3.9 (二项式定理)

对于非负整数\(n\)，

\[(x + y)^n = \binom{n}{0} x^n y^0 + \binom{n}{1} x^{n - 1} y + \binom{n}{2} x^{n - 2} y^2 + \dots + \binom{n}{n} x^0 y^n \]

备注 3.3.10

二项式定理有许多强大的应用。它对于展开像\((x + y)^n\)这样的表达式很有用。此外，如果我们想求\((x + y)^n \pmod{n^k}\)这样的表达式的值，我们可以只展开二项式展开的最后k项。

定理 3.3.11 (二项式恒等式)

二项式恒等式指出

\[\binom{n}{0} +\binom{n}{1} +\dots +\binom{n}{n} = 2^n \]

3.3.4 组合恒等式

定理 3.3.12 (范德蒙德恒等式)

范德蒙德恒等式指出

\[\binom{n}{0}\binom{m}{m} +\binom{n}{1}\binom{m}{m - 1} +\dots +\binom{n}{m}\binom{m}{0} = \binom{m + n}{n} \]

定理 3.3.13 (范德蒙德恒等式的特例)

\[\sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i}^2 = \binom{2k}{k} \]

概念 3.3.14 (帕斯卡三角)

帕斯卡三角如下图所示。它可以用组合数来表示，如下图所示。

定理 3.3.15 (帕斯卡恒等式)

帕斯卡恒等式指出

\[\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1} \]

3.3.16 (曲棍球棒恒等式) 曲棍球棒恒等式指出

\[\binom{k}{k}+\binom{k+1}{k}+\cdots+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k+1} \]

定理 3.3.17 (推广的曲棍球棒恒等式)

\[\binom{j}{k}+\binom{j+1}{k}+\cdots+\binom{n}{k}=\binom{n+1}{k+1}-\binom{j}{k+1} \]

定理 3.3.18 (奇偶项选择恒等式)

该恒等式指出

\[\sum_{k = 0}^{m}(-1)^{k}\binom{n}{k} = (-1)^{m}\binom{n - 1}{m} \]

备注 3.3.19

这些恒等式在组合问题中可能会有帮助，但它们的应用可能并不总是直接的。因此，解决许多组合问题的一个好方法可能只是直接处理表达式。

3.3.5 鸽巢原理

定理 3.3.20 (广义鸽巢原理)

如果你有至少\(nk + 1\)个物体要分配到\(k\)个组中，那么至少有一个组会有\(n + 1\)个物体。

3.4 概率与期望值

定义 3.4.1. 概率是某事发生的可能性。

定理 3.4.2 (概率)

\[\mathrm{概率} = \frac{\mathrm{有利结果的总数}}{\mathrm{所有可能结果的总数}} \]

定义 3.4.3. 期望值是结果的加权平均。

定理 3.4.4 (期望值)

某个事件\(X\)的期望值为

\[\sum x_{i}\cdot P(x_{i}) \]

其中\(x_{i}\)是\(X\)的可能取值，\(P(x_{i})\)是它们发生的概率。

基本上，期望值就是每个事件发生的概率乘以其数值或数量，然后求和。

备注 3.4.5

通常在求期望值时，我们可以利用对称性，而不是将每个概率乘以其数值再相加。例如，计算掷一个骰子的期望值，与其计算\(\frac{1}{6}\cdot 1 + \frac{1}{6}\cdot 2 + \frac{1}{6}\cdot 3 + \frac{1}{6}\cdot 4 + \frac{1}{6}\cdot 5 + \frac{1}{6}\cdot 6 = 3.5\)，不如注意到掷出1到6的概率相等，因此期望值就是平均掷出的点数，即中间两项的平均值3.5。（见等差数列部分）

定理 3.4.6 (期望的线性性) 对于独立或相依事件，

\[E(x_{1} + x_{2} + \dots +x_{n}) = E(x_{1}) + E(x_{2}) + \dots + E(x_{n}) \]

基本上，这意味着n个事件的总期望值就是每个单独事件的期望值之和。

备注 3.4.7

这个定理非常强大，因为它允许我们分别求每个单独事件的期望值，而不是一次性地求整体的期望值。

3.4.1 几何概率

定义 3.4.8. 几何概率是一种通过长度、面积或体积等几何度量来计算概率的方法。解决几何概率问题的关键是：

1. 尝试几种不同情况的例子，务必标记出极端情况。
2. 尝试找出形状所映射出的区域。
3. 使用几何知识找到该区域的面积。

备注 3.4.9 当可能的结果数量无限时，几何概率可能很有用。

3.4.2 容斥原理

定义 3.4.10. 容斥原理是一种计数技巧，用于计算至少满足若干性质之一的元素个数，同时保证满足多个性质的元素不会被重复计数。

定义 3.4.11 (并集符号). \(|A\cup B|\) 表示A和B中所有元素的并集（重复元素只写一次）。

3.4.12 (交集符号). \(|A\cap B|\) 表示A和B中元素的交集（即同时在两个集合中的元素）。

定理 3.4.13 (两个集合的容斥原理)

给定两个集合\(|A_{1}|\)和\(|A_{2}|\)，

\[|A_{1}\cup A_{2}| = |A_{1}| + |A_{2}| - |A_{1}\cap A_{2}| \]

基本上，我们计算两个“事物”中的可能性数量，然后减去重复的部分。

定理 3.4.14 (三个集合的容斥原理)

给定三个集合\(|A_{1}|, |A_{2}|, |A_{3}|\)，

\[|A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}| = |A_{1}| + |A_{2}| + |A_{3}| - |A_{1}\cap A_{2}| - |A_{1}\cap A_{3}| - |A_{2}\cap A_{3}| + |A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}| \]

在这个公式中，我们计算三个“事物”中的可能性数量，减去所有三对集合中重复的可能性数量，然后加回同时属于三个集合的重复数量。

定理 3.4.15 (广义容斥原理)

如果\((A_{i})_{1\leq i\leq n}\)是有限集合，那么：

\[\left|\bigcup_{i = 1}^{n}A_{i}\right| = \sum_{i = 1}^{n}|A_{i}| - \sum_{1 \leq i < j \leq n}|A_{i}\cap A_{j}| + \sum_{1 \leq i < j < k \leq n}|A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}| - \dots +(-1)^{n - 1}|A_{1}\cap \dots \cap A_{n}| \]

3.4.3 双射

概念 3.4.16

双射是两个集合元素之间的一一对应关系。双射很有用，因为它们允许你将难题转化为更容易计算的问题。当遇到可能涉及双射的难题时，你应该从尝试例子和寻找模式开始。

3.4.17 (递推)

递推是为小值求解问题，并写出递推方程以迭代计算更大值的值的过程。

解递推问题的步骤：

1. 基准情况： 手动找出小\(n\)的值。
2. 递推方程： 考察一般\(n\)的不同情况（例如，最后一位是0还是1）。如果卡住了，可以尝试几个小例子并寻找模式。
3. 迭代计算： 迭代计算更大的\(n\)值，直到得到答案。

备注 3.4.18

注意，许多递推问题的答案可以通过工程归纳法得到（见元解题部分）。

概念 3.4.19 (状态)

当问题试图从不同的位置或回合找出“获胜”的概率时，我们使用状态。

在处理状态问题时，我们使用以下步骤：

1. 为从不同位置获胜的概率分配变量。
2. 根据其他状态，写出从每个位置获胜的概率方程。
3. 解方程组。

备注 3.4.20 (状态中的对称性)

在状态问题中，始终留意对称性（那些获胜概率相等的位置），这有助于简化方程。

3.4.21

通常在状态问题中，当有很多状态时，你可能需要写出一个状态递推方程。

4 几何

4.1 三角形

4.1.1 三角形面积

计算三角形面积的方法有很多。以下是计算三角形面积的一些最有用的公式：

定理 4.1.1 (使用底和高) 底为\(b\)、高为\(h\)的三角形面积为

\[\frac{1}{2}\cdot b\cdot h \]

定理 4.1.2 (海伦公式)

边长为\(a,b,c\)、半周长为\(s\)的三角形面积为

\[\sqrt{s(s - a)(s - b)(s - c)} \]

定义 4.1.3 (内切圆半径). 三角形的内切圆半径是三角形内切圆的半径。

定理 4.1.4 (使用内切圆半径)

内切圆半径为\(r\)、半周长为\(s\)的三角形面积为：

\[r \cdot s \]

备注 4.1.5

注意，如果我们知道三角形的面积及其半周长，我们可以应用内切圆半径公式来求三角形的内切圆半径。

定义 4.1.6 (外接圆半径). 三角形的外接圆半径是三角形外接圆的半径。

4.1.7 (使用外接圆半径) 外接圆半径为\(R\)、边长为\(a, b, c\)的三角形面积为

\[\frac{abc}{4R} \]

备注 4.1.8

类似于内切圆半径问题，如果我们知道三角形的所有三条边，我们可以应用海伦公式并轻松计算出三角形的外接圆半径。

定理 4.1.9 (使用三角函数)

已知两边\(a\)和\(b\)及其夹角\(C\)的三角形面积为

\[\frac{1}{2}\cdot a\cdot b\cdot \sin (C) \]

定理 4.1.10 (皮克定理)

如果一个多边形的顶点都是整数坐标点（格点），那么多边形的面积为

\[i + \frac{b}{2} -1 \]

其中\(i\)是多边形内部格点的数量，\(b\)是多边形边界上格点的数量。

基本上，
面积 \(=\) 内部格点数 (+ \frac{\text{边界格点数}}{2} - 1)。

4.1.11 (鞋带定理) 假设多边形\(P\)的顶点为\((a_{1},b_{1}), (a_{2},b_{2}), \ldots, (a_{n},b_{n})\)，按顺时针顺序列出。那么\(P\)的面积\(A\)为

\[A = \frac{1}{2} |(a_{1}b_{2} + a_{2}b_{3} + \dots + a_{n}b_{1}) - (b_{1}a_{2} + b_{2}a_{3} + \dots + b_{n}a_{1})| \]

你也可以按逆时针顺序，只要最后取绝对值即可。

鞋带定理得名于将坐标列成一列，
\((a_{1},b_{1})\)
\((a_{2},b_{2})\)
\(\vdots\)
\((a_{n},b_{n})\)
\((a_{1},b_{1})\)
然后标记要相乘的坐标对。

备注 4.1.12 (鞋带定理的直观理解) 使用鞋带定理的步骤：

1. 将多边形所有顶点的坐标垂直排列成一列。
2. 在列的底部重复你的第一个坐标。
3. 设所有右下对角线方向乘积的和为\(A\)。
4. 设所有左下对角线方向乘积的和为\(B\)。
5. 计算\(\frac{1}{2} |A - B|\)。

4.1.2 特殊三角形

4.1.2.1 等边三角形

定理 4.1.13

如果等边三角形的边长为\(a\)，

\[\mathrm{三角形的高} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \]

这直接来自于30-60-90三角形。

\[\mathrm{三角形的面积} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 \]

4.1.2.2 45-45-90三角形

定理 4.1.14

如果45-45-90三角形的直角边长为\(a\)，

三角形的斜边 \(= \sqrt{2}\times\) 直角边长 \(= \sqrt{2} a\)

三角形的面积 \(= \frac{1}{2}\times\) 直角边长 \(^2 = \frac{1}{2} a^{2}\)

4.1.2.3 30-60-90三角形

定理 4.1.15

如果30-60-90三角形的短直角边长为\(a\)，

三角形的长直角边 \(= \sqrt{3}\times\) 短直角边 \(= \sqrt{3} a\)

三角形的斜边 \(= 2\times\) 短直角边 \(= 2a\)

\[\mathrm{面积} = \frac{\sqrt{3}}{2}\times \mathrm{短直角边}^{2} = \frac{\sqrt{3}}{2} a^{2} \]

4.1.2.4 13-14-15三角形

定理 4.1.16

如果三角形的三条边长为13, 14, 15，它可以被分成两个直角三角形，边长分别为：
5, 12, 13 和 9, 12, 15。

这个三角形的面积为 \(84\)。

4.1.3 勾股定理

定理 4.1.17 (勾股定理)

直角边为a和b、斜边为c的直角三角形满足以下关系：

\[c^{2} = a^{2} + b^{2} \]

事实 4.1.18. 重要的勾股数：
3, 4, 5
5, 12, 13
7, 24, 25
8, 15, 17
9, 40, 41
20, 21, 29

如果勾股数中的所有数字都乘以一个常数，得到的数字仍然构成勾股数。

例如，以下都是勾股数：
3, 4, 5
6, 8, 10
9, 12, 15
12, 16, 20
15, 20, 25

定理 4.1.19 (直角三角形的特殊性质) 在直角三角形ABC中，B是直角，以下三角形相似：

\[\triangle ABC\sim \triangle ADB\sim \triangle BDC \]

垂直于斜边的长度\(BD = \sqrt{\frac{AB\cdot BC}{AC}}\)。

另请注意：

\[AD \cdot CD = BD^2 \]

\[AD \cdot AC = AB^2 \]

\[CD \cdot CA = CB^2 \]

4.1.20 (直角三角形中的中线) 在直角三角形ABC中，设从顶点B到边AC的中线交AC于点P。那么\(AP = BP = CP\)。基本上，在直角三角形中，AC是外接圆的直径，PC、PA和PB是外接圆的半径。

4.1.4 相似三角形

概念 4.1.21 (相似性判定)

如果两个三角形的三个角分别相等，则它们相似。换句话说，这些三角形是同一个形状缩放了一定的比例。

通常，如果满足以下条件，三角形相似：

• AA相似： 两个三角形的两个角相等，这意味着第三个角也将相等。
• SAS相似（边角边）： 两边成比例且夹角相等。
• SSS相似（边边边）： 三边成比例。
• HL相似（斜边直角边）： 在直角三角形中，斜边和一条直角边成比例。
• LL相似（直角边直角边）： 在直角三角形中，两条直角边成比例。

警告：SSA不能判定三角形相似。

检测相似三角形的一个简单方法是看三角形的底边是否平行，且三角形的边是否共线（见下图）。

4.1.5 角平分线定理

定理 4.1.23 (角平分线定理) 如果直线\(AD\)平分角\(A\)，那么

\[\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC} \]

4.1.6 维维亚尼定理

定理 4.1.24

如果P是等边三角形ABC内的一点，那么P到三角形三边的距离之和等于该三角形的高。

基本上，如果三角形的高是h，且PQ、PR、PS分别是到AB、BC、AC的高，那么：

\[PQ + PR + PS = h \]

4.1.7 范·斯霍滕定理

定理 4.1.25 (范·斯霍滕定理)

设P是等边三角形ABC外接圆上劣弧BC上的一点。那么

\[PA = PB + PC \]

定理 4.1.26

对于等边三角形\(ABC\)内的一点\(P\)，边长为\(s\)，

\[3(PA^{4} + PB^{4} + PC^{4} + s^{4}) = (PA^{2} + PB^{2} + PC^{2} + s^{2})^{2} \]

4.2 四边形

4.2.1 正方形

定理 4.2.1 (正方形的面积) 边长为\(s\)的正方形面积为\(s^2\)，周长为\(4s\)。

4.2.2 矩形

定理 4.2.2 (矩形的面积) 底为\(b\)、高为\(h\)的矩形面积为\(b h\)，周长为\(2b + 2h\)。

4.2.3 (英国国旗定理) 如果在矩形ABCD内选择一点P，那么

\[(PA)^2 +(PC)^2 = (PB)^2 +(PD)^2 \]

4.2.3 菱形

定理 4.2.4 (菱形的面积) 对角线长为\(d_{1}\)和\(d_{2}\)的菱形面积为\(\frac{1}{2} d_{1}d_{2}\)，周长为\(2\times \sqrt{d_1^2 + d_2^2}\)。

4.2.4 平行四边形

定理 4.2.5 (平行四边形的面积) 底为b、高为h的平行四边形面积为\(b h\)。

4.2.5 梯形

定理 4.2.6 (梯形的面积) 两底为\(b_{1}\)和\(b_{2}\)、高为\(h\)的梯形面积为\(\frac{1}{2} (b_1 + b_2) h\)。

4.3 圆

4.3.1 圆的性质

定理 4.3.1 (面积和周长) 半径为\(r\)的圆面积为\(\pi r^2\)，周长为\(2\pi r\)。

定理 4.3.2 (圆弧) 半径为\(r\)、圆心角为\(a^\circ\)的圆弧：
扇形面积 \(= \pi r^2 \times \frac{a}{360}\)
弧长 \(= 2\pi r \times \frac{a}{360}\)

定义 4.3.3 (圆弧的圆心角). 这是圆弧在圆心处所对的角度。

4.3.4 (圆周角定理) 圆弧在圆心处所对的角度（圆心角）是其圆周角的两倍。

推论 4.3.5 (直径所对的圆周角) 以直径为一边的内接三角形总是直角三角形。

定义 4.3.6 (弦). 弦是圆上任意两个不同点之间的线段。圆的直径是圆中最长的弦。

定理 4.3.7 任何弦的垂直平分线都经过圆心。在下图中，AB和CD的垂直平分线相交于圆心O。

推论 4.3.8 - 相等的弦与圆心的距离相等。
如果圆中的两条弦相等，那么它们所对的弧相等。
如果圆中的两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等。

定理 4.3.9 图中标记的角度等于两条红色弧的差的一半。

\[\angle APC = \frac{\widehat{BD} - \widehat{AC}}{2} \]

4.3.10

如果两条弦AB和CD相交于P，那么\(\angle BPC\)和\(\angle APD\)等于两条弧的平均值。

\[\angle BPC = \angle APD = \frac{\widehat{BC} + \widehat{AD}}{2} \]

定理 4.3.11

如果切线R在Q点与圆相切，并画出弦QP，那么\(\angle RQP\)等于弧角的一半。

备注 4.3.12

圆在角度推导中非常有用，所以要注意圆周角定理，它可用于许多角度推导问题。

备注 4.3.13

解决正多边形角度推导问题的一个有用技巧是围绕多边形画一个圆，然后使用圆周角定理。

4.3.14 相等的弦标出相等的弧。这基本上意味着，如果你有两条长度相等的弦，它们在圆上标出的扇形区域相等。

定义 4.3.15 (切线). 切线是从圆外一点出发，刚好接触圆的直线。

定理 4.3.16 (半径与切线垂直) 如果你将圆心连接到圆与直线相切的点，它们会形成一个直角。

备注 4.3.17

这个性质在圆问题中非常有用，因为它允许我们使用直角。此外，另一个有用的技巧是在图形中画出有用的半径，因为这样可以提供新的信息。

4.4 圆幂定理

定理 4.4.1 (从一点出发的两条切线) 从圆外一点P出发，到圆的两条切线长度相等。

\[PS = PT \]

定理 4.4.2 (两条割线) 如果AB和CD是圆内相交于P点的两条割线，那么线段满足以下性质：

\[PA\cdot PB = PC\cdot PD \]

4.4.3 (一条切线和一条割线) 如果P是圆外一点，PT是圆的一条切线，割线AB和CD相交于P，那么线段满足以下性质：

\[PA\cdot PB = PC\cdot PD = PT^2 \]

备注 4.4.4

一个常见的错误是混淆成\(PA \cdot AB = PC \cdot CD\)。请记住，所有线段都必须包含点P（也许这就是它被称为“圆幂定理”的原因）。

定理 4.4.5 如果AB和CD是圆内相交于P点的两条弦，那么线段满足以下性质：

\[PA\cdot PB = PC\cdot PD = r^2 - OP^2 \]

其中r是圆的半径。

4.4.6 如果AB和CD是圆外相交于P点的两条割线，那么线段满足以下性质：

\[PA\cdot PB = PC\cdot PD = OP^2 - r^2 \]

其中r是圆的半径。

备注 4.4.7

在处理圆和弦长问题时，圆幂定理非常有用。

4.4.8 (曲率). 圆的曲率是其半径的倒数\(\frac{1}{r}\)。

定理 4.4.9

在圆外切四边形（即存在内切圆的四边形）中，两组对边长度之和相等。

\[AB + CD = AD + BC \]

4.4.10 (笛卡尔圆定理) 设三个黑色圆（彼此外切）的半径分别为\(r_1, r_2, r_3\)。设绿色圆的半径为\(s_1\)。那么我们有

\[\left(\frac{1}{r_1} +\frac{1}{r_2} +\frac{1}{r_3} -\frac{1}{s_1}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{r_1^2} +\frac{1}{r_2^2} +\frac{1}{r_3^2} +\frac{1}{s_1^2}\right) \]

注意\(\frac{1}{s_1}\)项是负的，因为绿色圆与其他圆内切，这意味着它的曲率为负。设红色圆的半径为\(s_2\)。那么我们知道

\[\left(\frac{1}{r_1} +\frac{1}{r_2} +\frac{1}{r_3} +\frac{1}{s_2}\right)^2 = 2\left(\frac{1}{r_1^2} +\frac{1}{r_2^2} +\frac{1}{r_3^2} +\frac{1}{s_2^2}\right) \]

注意\(\frac{1}{s_2}\)项是正的，因为红色圆与其他圆外切，这意味着它的曲率为正。

备注 4.4.11

如果其中一个圆退化为一条直线，这个公式也适用。在这种情况下，我们可以认为\(\frac{1}{r} = 0\)。

4.4.12 (卡诺定理) 在三角形ABC中，外接圆半径为R，内切圆半径为r，从外心\(O\)到三边的有向距离之和为：

\[OP + OQ + OR = R + r \]

注意：如果线段位于三角形外部，则距离的符号为负。在下图中，\(OQ\)为负，因为该线段位于三角形外部。

\[OP + OR - OQ = R + r \]

4.5 复杂图形的面积

概念 4.5.1

求复杂图形面积的技巧：

• 将图形分割成更“好”的、易于计算的区域。
• 延长线： 通常，当延长线能形成更容易处理的形状/区域（如三角形）时，你会想要延长线。
• 分割区域： 一种常见的方法是作高，因为这样做通常能形成直角三角形。

备注 4.5.2

一个常见技巧是先求出图形的面积，然后用一个变量（如高、内切圆半径、外接圆半径等）表示图形的面积，然后解出该变量。

4.6 复杂图形的长度

概念 4.6.1

求复杂图形的长度：

• 角相等意味着边相等，反之亦然。
• 留意90度角，因为你可以使用勾股定理。
• 使用以下一些技巧将长度分解成多个部分：
  • 画辅助线
  • 作高
  • 延长线以创建相似三角形、特殊三角形等，然后减去多余的长度。

4.7 角度推导

概念 4.7.1 (角度推导技巧)

• 三角形内角和为180度。
• 有两个角相等的三角形，其对应边相等；有两条边相等的三角形，其对应角相等（等腰三角形）。
• 相交线中对顶角相等。
• 平行线中同位角相等。
• 圆弧在圆心处所对的角（圆心角）是其在圆周上（圆周角）所对角的两倍。

概念 4.7.2 (余角) 余角是角度和为90度的一对角。

概念 4.7.3 (补角) 补角是角度和为180度的一对角。

4.7.4 (相交线) 当两条线相交时，对顶角相等。对顶角是由两条相交线形成的每对相对的角。这里的“对顶”意味着它们共享同一个顶点，而不是通常的上下方向。

概念 4.7.5

平行线：同位角相等。

4.8 多边形

4.8.1 多边形的角

定理 4.8.1

多边形的内角和 \(= (n - 2)\cdot 180^\circ\)。

正多边形的每个内角 \(= \frac{(n - 2)}{n}\cdot 180^\circ\)。

正多边形的每个外角 \(= \frac{360^\circ}{n}\)。

4.8.2. 重要内角

正多边形边数	正多边形内角
3	60°
4	90°
5	108°
6	120°
8	135°
9	140°
10	144°

4.8.1.1 六边形

定理 4.8.3

正六边形的内角和 \(= (6 - 2) \cdot 180^\circ = 720^\circ\)。

正六边形的每个内角 \(= \frac{(6 - 2)}{6} \cdot 180^\circ = 120^\circ\)。

正六边形的每个外角 \(= \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ\)。

正六边形的面积 \(= 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} s^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} s^2\)。

正六边形的对角线长度 \(= 2s\)。

备注 4.8.5 正六边形可以分割成6个全等的等边三角形。

4.8.1.2 八边形

定理 4.8.4

正八边形的内角和 \(= (8 - 2) \cdot 180^\circ = 1080^\circ\)。

正八边形的每个内角 \(= \frac{(8 - 2)}{8} \cdot 180^\circ = 135^\circ\)。

正八边形的每个外角 \(= \frac{360^\circ}{8} = 45^\circ\)。

正八边形的面积 \(= 2(1 + \sqrt{2})s^2\)。

4.9 圆内接四边形

定理 4.9.1 (圆内接四边形的性质)

对角互补，即对角之和 \(= 180^\circ\)。

4.9.2 (托勒密定理) 在圆内接四边形\(ABCD\)中，
对角线的乘积 \(=\) 两对对边乘积之和。

\[AC \cdot BD = AB \cdot CD + AD \cdot BC \]

4.9.3 (婆罗摩笈多公式) 在边长为\(a, b, c, d\)的圆内接四边形中，其面积可计算为：

\[A = \sqrt{(s - a)(s - b)(s - c)(s - d)} \]

其中\(s\)是四边形的半周长，\(s = \frac{a + b + c + d}{2}\)。

基本上，要计算圆内接四边形的面积：

1. 计算周长并除以2得到半周长s。
2. 从s中减去每条边长，得到四个值。
3. 将这四个值相乘。
4. 取乘积的平方根。

4.10 3D几何

4.10.1 立方体

定理 4.10.1 (立方体的体积和表面积)

\[\mathrm{立方体的体积} = a^3 \]

\[\mathrm{立方体的表面积} = 6a^2 \]

立方体的空间对角线长度 \(= \sqrt{3} a\)

4.10.2 长方体

定理 4.10.2 (长方体的体积和表面积)

\[\mathrm{长方体的体积} = l \times w \times h \]

\[\mathrm{长方体的表面积} = 2(lw + wh + lh) \]

长方体的空间对角线长度 \(= \sqrt{l^2 + w^2 + h^2}\)

4.10.3 圆柱体

定理 4.10.3 (圆柱体的体积和表面积)

\[\mathrm{圆柱体的体积} = \pi r^2 h \]

\[\mathrm{圆柱体的表面积} = 2\pi r^2 + 2\pi rh = 2\pi r(r + h) \]

4.10.4 圆锥体

定理 4.10.4 (圆锥体的体积和表面积)

\[\mathrm{圆锥体的体积} = \frac{1}{3}\pi r^2 h \]

\[\mathrm{圆锥体的表面积} = \pi r^{2} + \pi r s = \pi r(r + s) \]

其中\(s\)是斜高。

备注 4.10.5
斜高\(s\)可由以下公式计算：

\[s = \sqrt{r^2 + h^2} \]

4.10.5 球体

定理 4.10.6 (球体的体积和表面积)

\[\mathrm{球体的体积} = \frac{4}{3}\pi r^3 \]

\[\mathrm{球体的表面积} = 4\pi r^2 \]

4.10.6 四面体

定理 4.10.7 (四面体的体积)
任何四面体的体积 (= \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高})。

定理 4.10.8 (正四面体的体积)
正四面体（所有边等长）的体积 \(= \frac{s^3}{6\sqrt{2}}\)。

4.10.7 棱锥

定理 4.10.9 (棱锥的体积)
任何棱锥的体积 (= \frac{1}{3} \times \text{底面积} \times \text{高})。

4.10.10 (正四棱锥的体积) 当棱锥有正方形底面，且所有侧棱相等时，

\[\mathrm{正四棱锥的体积} = \frac{\sqrt{2}}{6} s^3 \]

概念 4.10.11 (卡瓦列里原理)
如果有两个等高的立体，并且平行于底面且在同一高度处截得的截面面积总是相等，那么这两个立体的体积相等。

4.10.8 多面体

定理 4.10.12 (欧拉多面体公式)

\[V - E + F = 2 \]

其中\(V\)是顶点数，\(E\)是边数，\(F\)是面数。

备注 4.10.13
如果你忘记了这条定理，想想立方体，它有6个面，8个顶点和12条边。

备注 4.10.14
注意，在一个多面体中，如果我们知道或能够获取关于每个顶点连接的面/边数，以及每个面/边共享的顶点数的信息，我们可以轻松地从顶点数计算出面/边数，反之亦然。

4.11 进阶公式

定义 4.11.1 (中线). 中线是连接顶点与对边中点的线段。

定义 4.11.2 (重心). 三角形中，三条中线的交点称为重心。

定理 4.11.3
三角形的重心位于中线上，且距离顶点的距离是中线的\(\frac{2}{3}\)。

定义 4.11.4 (外心). 三角形的外心是三条垂直平分线（垂直平分一条线段的线）的交点。这个点也是外接圆的圆心，到三个顶点的距离相等。

定义 4.11.5 (内心). 三角形的内心是三条角平分线的交点。这个点也是内切圆的圆心，到三边的距离相等。

定理 4.11.6
直角三角形的内切圆半径\(r\)：

\[r = \frac{1}{2}(a + b - c) \]

其中\(a\)和\(b\)是直角边，\(c\)是斜边。

定义 4.11.7 (塞瓦线). 塞瓦线是从三角形任一顶点到对边的任何线段。中线和角平分线是塞瓦线的特例。

定理 4.11.8 (塞瓦定理)
在三角形\(ABC\)中，设\(D, E, F\)分别是直线\(BC, CA, AB\)上的点。直线\(AD, BE, CF\)共点当且仅当

\[\frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}\cdot \frac{AF}{FB} = 1 \]

注意：这些塞瓦线不一定位于三角形内部。

备注 4.11.9
记住它的一个方法是绕三角形一圈并相乘各线段比。

4.11.10 (梅涅劳斯定理) 如果一条直线\(PQ\)与\(\triangle ABC\)的边\(AB\)相交，其中\(P\)在\(BC\)上，\(Q\)在\(AC\)的延长线上，\(R\)是\(PQ\)与\(AB\)的交点，那么

\[\frac{PB}{CP}\cdot \frac{QC}{QA}\cdot \frac{AR}{RB} = 1. \]

定理 4.11.11 (斯图尔特定理) 给定三角形\(\triangle ABC\)，边长分别为\(a, b, c\)，分别对角\(A, B, C\)。如果作一条塞瓦线\(AD\)，使得\(BD = m\)，\(DC = n\)，且\(AD = d\)，那么有

\[b^2 m + c^2 n = a(d^2 + mn) \]

备注 4.11.12 一个记忆方法是：“一个男人和他的爸爸把一个炸弹放在水槽里。”

推论 4.11.13 (角平分线的斯图尔特形式) 如果\(AD\)是角平分线，那么\(d^2 + mn = bc\)。
注意，这可以由斯图尔特定理和角平分线定理推导得出。

推论 4.11.14 (中线的斯图尔特形式) 如果\(AD\)是中线，那么\(d^2 = \frac{1}{2}(b^2 + c^2) - \frac{1}{4}a^2\)。

4.11.15 (欧拉几何定理) 欧拉定理指出，三角形外心与内心之间的距离\(d\)由下式给出：

\[d^2 = R(R - 2r) \]

或者等价地，

\[\frac{1}{R-d} + \frac{1}{R+d} = \frac{1}{r} \]

其中\(R\)和\(r\)分别表示外接圆半径和内切圆半径。

4.12 解析几何

4.12.1 坐标平面中的直线

定义 4.12.1 (直线方程). 直线方程的一般形式是\(ax + by + c = 0\)。

定义 4.12.2 (斜截式). 直线的斜截式方程是\(y = mx + b\)。

4.12.3 (过两点的直线斜率) 过两点\((x_{1},y_{1})\)和\((x_{2},y_{2})\)的直线斜率为\(\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}\)。

定理 4.12.4 (由角度求斜率) 与x轴正方向夹角为\(\theta\)的直线斜率为\(\tan(\theta)\)。

定理 4.12.5 (两点间距离) 两点\((x_{1},y_{1})\)和\((x_{2},y_{2})\)之间的距离为

\[\sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}} \]

定理 4.12.6 (点到直线距离公式) 点\((x_{0},y_{0})\)到直线\(ax + by + c = 0\)的距离为

\[\frac{|a x_0 + b y_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}} \]

备注 4.12.7
小心不要将直线方程与\(ax + by = c\)混淆。

备注 4.12.8
注意，这个距离代表最短的可能距离，即垂线段的长度。

备注 4.12.9
这个公式有点令人困惑，记住分子的一种简单方法是，它就是将点的坐标值代入直线方程所得的值。

4.12.2 坐标平面中的圆

4.12.10 (圆的方程) 圆心为\((a,b)\)、半径为\(r\)的圆方程为

\[(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2 \]

4.12.11 (抛物线的方程) 顶点为\((a,b)\)的抛物线方程为\(y = k(x - a)^2 + b\)，其中\(k\)是非零实常数。

4.12.12 (椭圆的方程) 椭圆方程为

\[\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

其中\(a\)和\(b\)是椭圆的半长轴和半短轴长度。

4.12.13 注意，当\(a = b\)时，它变成一个圆。

4.12.14 (双曲线的方程) 双曲线方程为

\[\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \]

其中双曲线可以内接的矩形的宽度为\(2a\)，高度为\(2b\)。双曲线由两个对称部分组成，可以关于y轴反射。

5 三角学

注意：本主题主要与AMC 12相关，但了解一些概念如余弦定理有助于解决一些AMC 10问题。

5.1 三角恒等式

定理 5.1.1 (三角恒等式)

\[\sin(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{斜边}}, \quad \cos(\theta) = \frac{\text{邻边}}{\text{斜边}}, \quad \tan(\theta) = \frac{\text{对边}}{\text{邻边}} = \frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} \]

备注 5.1.2
为了记住这些关系，只需使用助记词SOH-CAH-TOA。

5.2 更多三角恒等式

定理 5.2.1 (更多三角恒等式)

\[\csc(\theta) = \frac{1}{\sin(\theta)} = \frac{\text{斜边}}{\text{对边}}, \quad \sec(\theta) = \frac{1}{\cos(\theta)} = \frac{\text{斜边}}{\text{邻边}}, \quad \cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)} = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} \]

5.3 重要三角函数值

角度	\(\cos\)	\(\sin\)
\(0^\circ\)	\(1\)	\(0\)
\(15^\circ\)	\(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)	\(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)
\(30^\circ\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(45^\circ\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(60^\circ\)	\(\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(75^\circ\)	\(\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\)	\(\frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}\)
\(90^\circ\)	\(0\)	\(1\)
\(120^\circ\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)
\(135^\circ\)	\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)	\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(150^\circ\)	\(-\frac{\sqrt{3}}{2}\)	\(\frac{1}{2}\)
\(180^\circ\)	\(-1\)	\(0\)

5.4 单位圆恒等式

定理 5.4.1 (单位圆恒等式)

\[\sin(-\theta) = -\sin(\theta), \quad \sin(\theta) = \sin(180^\circ - \theta) \]

\[\cos(-\theta) = \cos(\theta), \quad \cos(\theta) = -\cos(180^\circ - \theta) \]

\[\tan(-\theta) = -\tan(\theta), \quad \tan(\theta) = -\tan(180^\circ - \theta) \]

5.5 使用三角学的三角形面积

定理 5.5.1 (使用三角学的三角形面积) 在边长为a, b, c的三角形中，a与b的夹角记为C，

\[\mathrm{三角形的面积} = \frac{1}{2} ab \sin(C) \]

5.6 正弦定理

定理 5.6.1 (正弦定理) 在边长为a, b, c，对角分别为A, B, C的三角形中，

\[\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R \]

其中R是三角形的外接圆半径。

5.7 余弦定理

定理 5.7.1 (余弦定理) 在边长为a, b, c的三角形中，a与b的夹角记为C，

\[c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2ab\cos C \]

5.8 毕达哥拉斯恒等式

\[\sin^2(\theta) + \cos^2(\theta) = 1 \]

\[\tan^2(\theta) + 1 = \sec^2(\theta) \]

\[\cot^2(\theta) + 1 = \csc^2(\theta) \]

5.9 倍角恒等式

定理 5.9.1 (倍角恒等式)

\[\sin(2\theta) = 2\sin(\theta)\cos(\theta) \]

\[\cos(2\theta) = \cos^2(\theta) - \sin^2(\theta) = 2\cos^2(\theta) - 1 = 1 - 2\sin^2(\theta) \]

\[\tan(2\theta) = \frac{2\tan(\theta)}{1 - \tan^2(\theta)} \]

5.10 和差角恒等式

定理 5.10.1 (和差角恒等式)

\[\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \]

\[\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta \]

\[\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha \cos\beta - \sin\alpha \sin\beta \]

\[\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cos\beta + \sin\alpha \sin\beta \]

\[\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha \tan\beta} \]

\[\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha \tan\beta} \]

5.11 半角恒等式

定理 5.11.1 (半角恒等式)

\[\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}} \]

\[\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}} \]

5.12 和差化积恒等式

定理 5.12.1 (和差化积恒等式)

\[\sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]

\[\sin\alpha - \sin\beta = 2\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right) \]

\[\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]

\[\cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\left(\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\sin\left(\frac{\alpha - \beta}{2}\right) \]

5.13 积化和差恒等式

定理 5.13.1 (积化和差恒等式)

\[\sin\alpha \sin\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)] \]

\[\cos\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta)] \]

\[\sin\alpha \cos\beta = \frac{1}{2}[\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)] \]

定义 5.13.2. 周期函数是以规则间隔重复其y值模式的三角函数。一个完整重复称为一个周期。函数的周期是一个完整周期的水平长度。
\(\sin, \cos, \tan\)的周期是\(2\pi\)。

5.14 三角函数的周期与图像

概念 5.14.1 (正弦图像)
概念 5.14.2 (余弦图像)
概念 5.14.3 (正切图像)

备注 5.14.4
长的三角表达式可以通过裂项相消、巧妙地使用恒等式、复数代换（见下文复数部分）来求值。

6 对数

注意：本主题主要与AMC 12相关。

6.1 基本定义

定义 6.1.1 (对数). 对数是必须将底数提高到多少次幂才能得到某个数的指数。

对数表示为

\[a = \log_{b} n \]

其中\(b\)是底数，\(n\)是真数。

基本上，我们试图计算需要将底数相乘多少次才能得到数字a，或者说需要将底数提高到多少次幂才能得到数字a。

定理 6.1.2 (对数与指数的转换)

\[\log_{x} y = a \Rightarrow x^{a} = y \]

6.2 对数公式

定理 6.2.1 (重要公式)

\[\log_{a} a^{r} = r \]

\[\log_{a} (bc) = \log_{a} b + \log_{a} c \]

\[\log_{a} \left(\frac{b}{c}\right) = \log_{a} b - \log_{a} c \]

\[\log_{a} (b^{c}) = c \log_{a} b \]

\[\log_{a} b \cdot \log_{b} c = \log_{a} c \]

\[\log_{b} a = \frac{1}{\log_{a} b} \]

\[\log_{b} a = \frac{\log_{d} a}{\log_{d} b} \]

备注 6.2.2
最后一个公式被称为“换底公式”，是所有公式中最有用的。在对数问题中，通常可以按此公式展开表达式并简化得到答案。

备注 6.2.3
这些公式对于处理对数极其重要，一定要记住。

备注 6.2.4
如果你忘记了这些对数公式的符号，可以尝试一个小例子，比如\(\log_{10}100 + \log_{10}1000 = \log_{10}100,000\)，从中你可以推导出例如对数求和恒等式。

6.2.5 (进阶公式)

\[\log_{a^m} b^n = \frac{n}{m} \log_{a} b \]

\[\log_{a} \left(\frac{1}{b}\right) = -\log_{a} b \]

\[\log_{\frac{1}{a}} b = -\log_{a} b \]

备注 6.2.6
这些公式不太重要，对于大多数对数问题不是必需的，但了解它们仍然有好处。

7 复数

注意：本主题主要与AMC 12相关。

7.1 基本定义

定义 7.1.1. 复数是可以用\(a + bi\)形式表示的数，其中\(a\)和\(b\)是实数，\(i\)代表“虚数单位”。\(a\)是复数的实部，\(bi\)是虚部。复数通常用变量\(z\)表示。

定义 7.1.2. \(i = \sqrt{-1}\)，\(i^{2} = -1\)，\(i^{3} = -i\)，\(i^{4} = 1\)。

备注 7.1.3

\(i\)的幂每4次循环一次，所以
\(i^{4n} = (i⁴⁾n = 1^n = 1\)
\(i^{4n+1} = i\)
\(i^{4n+2} = -1\)
\(i^{4n+3} = -i\)

定理 7.1.4 (复数加法)

\[(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]

定理 7.1.5 (复数减法)

\[(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i \]

定理 7.1.6 (复数乘法)

\[(a + bi) \cdot (c + di) = (ac - bd) + (bc + ad)i \]

定义 7.1.7 (实部和虚部). 复数\(a + bi\)的虚部是b，实部是a。

备注 7.1.8
虚部不包括因子\(i\)。

7.2 共轭复数

定义 7.2.1. 复共轭是通过翻转复数虚部的符号得到的，表示为\(\bar{z}\)。

定理 7.2.2 (求共轭)

\[\overline{z} = \overline{a + bi} = a - bi \]

定理 7.2.3 (复数与其共轭相乘)

\[(a + bi)(a - bi) = a^2 + b^2 \]

7.3 复根

定义 7.3.1. 一个\(n\)次多项式有\(n\)个根，这些根可能是复数。对于二次式，如果判别式为负，我们就得到复根。

7.4 复平面

定义 7.4.1. 复数也可以通过在复平面上将\(a + bi\)表示为\((a,b)\)来进行几何表示。x轴代表实轴，y轴代表虚轴。

7.4.2. 复数的模表示为\(|z|\)，是复数\((a,b)\)到原点的距离。

定理 7.4.3 (复数的模)

\[|z| = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

7.5 极坐标形式

定义 7.5.1. 正实轴与连接原点和复数的射线之间的夹角称为该复数的辐角，用\(\theta\)表示。

定理 7.5.2 (复数的辐角) 复数\(a + bi\)的辐角\(\theta\)满足

\[\tan \theta = \frac{b}{a} \]

定义 7.5.3. 0与复数之间的距离有时称为该复数的模，用\(r\)表示。

定理 7.5.4 (复数的模) 复数\(a + bi\)的模\(r\)为

\[r = |a + bi| = \sqrt{a^2 + b^2} \]

定义 7.5.5. 极坐标形式是基于复数的模\(r\)和辐角\(\theta\)来表示复数的另一种方式。

定理 7.5.6 (极坐标形式)

\[z = a + bi = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]

7.5.7 \(\operatorname{cis} \theta\) 是\(\cos \theta + i \sin \theta\)的缩写。

备注 7.5.8
三角比告诉我们\(\cos \theta = \frac{a}{r}\)和\(\sin \theta = \frac{b}{r}\)，我们可以重新排列得到\(r \cos \theta = a\)和\(r \sin \theta = b\)。代入这些值即得极坐标形式公式。

定理 7.5.10 (欧拉公式)
欧拉公式告诉我们

\[\cos \theta + i \sin \theta = e^{i\theta} \]

这意味着

\[z = a + bi = r(\cos \theta + i \sin \theta) = r e^{i\theta} \]

备注 7.5.11
欧拉恒等式是欧拉公式的一个特例，它告诉我们

\[e^{i\pi} = -1 \]

定理 7.5.12 (棣莫弗定理) 对于复数\(z = r e^{i\theta}\)和实数n，

\[z^{n} = (r e^{i\theta})^{n} = r^{n} [\cos(n\theta) + i \sin(n\theta)] \]

备注 7.5.13
我们可以用它来更轻松地计算像\((3 + 2i)^8\)这样的表达式，只需转换为极坐标形式并应用棣莫弗定理。

备注 7.5.14 棣莫弗定理在处理复数和指数时非常有用。

定理 7.5.15 (旋转点) 要将一个点逆时针旋转\(\theta\)弧度，将该点的坐标转换为对应的复数，然后乘以\(e^{i\theta}\)。再将结果转换回有序对即得答案。

概念 7.5.16

复数及其与圆的关系使得它们易于处理许多几何问题，特别是在处理等边三角形或正方形等多边形时。

如何使用复数解决几何问题：

1. 为一个或多个坐标分配一个复数。
2. 要找到其他点的复数，乘以或除以\(e^{i\theta}\)。
3. 利用已有的信息求解问题所要求的内容。

备注 7.5.17

我们也可以从几何角度看待代数复数问题。

7.6 单位根

定义 7.6.1. 单位根是方程\(x^n = 1\)（对于某个正整数\(n\)）的复数解。方程\(x^n = 1\)总是有\(n\)个解。

定理 7.6.2 (单位根)
\(n\)次单位根的集合是

\[e^{2k\pi i / n} \]

其中

\[k \in \{0, 1, 2, \ldots, n-1\} \]

7.7 用于三角学的复数

定理 7.7.1 (用复数表示正弦和余弦)

\[\sin \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i} \]

\[\cos \theta = \frac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2} \]

\[\tan \theta = \frac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{i(e^{i\theta} + e^{-i\theta})} \]

备注 7.7.2
通过使用这些代换，我们可以轻松地求出三角表达式的值，而无需使用原本需要巧妙处理的三角恒等式。

8 额外技巧与策略

8.1 元解题技巧

定义 8.1.1. 元解题是在不实际求解问题的情况下找到答案。

备注 8.1.2
这些技巧可能不适用于所有问题。当问题提供选项时，这些技巧尤其有用。

备注 8.1.3 (元解题警告)
不要过度依赖这些技巧，以至于你甚至不尝试正规地解决问题。

概念 8.1.4 (工程归纳法)

工程归纳法是尝试找出小情况的值，并假设它对更大情况也成立的过程。

工程归纳法问题的步骤：

1. 尝试小情况。
2. 在这些小情况中寻找模式（可能并不总是存在）。
3. 假设该模式可以延续到更大的情况并找到答案。

8.1.5 当问题中的值看起来很难或不可能计算时，我们可以尝试应用工程归纳法。

概念 8.1.6 (寻找数字的独特性质)

与其计算精确答案，我们可以计算选项答案的独特性质，以便排除所有不满足该性质的选项，从而只剩下一个选项（或者可能更多，这种情况下你可以从剩余选项中猜测）。

你可以在选项答案中寻找并尝试计算的一些独特性质有：

• 个位数
• 末两位
• 奇偶性（奇数、偶数）
• 是否是完全平方数
• 质数/合数
• 模数（除以3、4、5等的余数）
• 常见分数的分母（或者它们必须整除什么）
• 倍数/因数等。

备注 8.1.7

最后两个性质在组合问题中尤其有用，因为你可以轻松地找到必须相乘才能得到答案的数字。

概念 8.1.8

寻找“与众不同”或与其他选项不同的选项。
寻找异常值（质数、非常大/小的数、奇数/偶数、2的幂等）。

概念 8.1.9 (尝试所有选项)

在某些问题中，你可以：

• 将所有选项代入问题条件。
• 查看问题条件，看看哪些选项可能有效。
  这样做之后，你将会有一个更好的猜测或精确答案。

概念 8.1.10 (排除选项)

与上述技巧密切相关，你通常还可以基于以下条件排除选项：

• 数字的独特性质（见上文）
• 数字必须多大或多小

备注 8.1.11 我们建议仅在能将选项缩小到2或3个时才进行猜测。

概念 8.1.12 (估算答案)

通常（尤其是在几何问题中），你可以轻松地找到一个近似答案，并查看哪个选项最接近你得到的答案。

在几何中，常用策略是标出与已知面积大致相等的区域。

8.1.13 (利用问题中的自由度) 当问题陈述中你有自由度时，假设一些事实可能非常有用。

基本上，只要问题没有说“这个事实不成立”（因此，你想做的任何假设都能满足问题的条件），你就可以假设该事实成立来简化问题，使其变得非常容易解决。

例如，如果要求你找出三角形中的某个通用比值，且没有特别说明该三角形不是等边三角形，你就可以假设该三角形是等边三角形，然后解决剩余的问题。

备注 8.1.14

确保不要假设错误的信息！要非常小心你的假设是可以成立的。
在我们之前的例子中，如果问题说三角形有两条边长为7和8，那么我们的假设就是错误的，因此就行不通了。

8.2 粗心错误

粗心错误非常常见，并且会大大降低你在AMC 10/12中的分数。以下是一些关于如何避免各种粗心错误的提示：

概念 8.2.1 (避免算术错误)

避免算术错误的一个好方法是：

• 用两种方式计算（例如，如果你要计算\(87\cdot 93\)，你可以让87在上或让93在上分别乘一次）。
• 更有条理，写下更多步骤。

概念 8.2.2 (避免数学错误)

避免数学错误的一个简单方法是：

• 整洁地完成你的工作！在草稿纸上为每个问题画个框。
• 不要跳过步骤。
• 检查你的工作，遵循上面的提示会使检查更容易。
• 有条理地进行步骤。
• 尝试将你的答案代回问题（如果可以的话）。
• 尝试用另一种解法来确认你的答案。
• 估算答案应该是什么，看看你的答案是否接近你的估算。

8.2.3 (避免阅读错误) 读错问题是最常见的错误之一。通常，你可能会忘记一些重要的关键词，比如：
包含、排除
偶数、奇数
质数、合数
整数、自然数、实数、复数

避免它们的一些策略是：

• 在解决问题后，重新阅读问题的提问部分，确保你回答的是问题所问的！
• 在阅读时划出关键词（考虑到今年的考试可能在线，这可能很难做到，但作为替代，你可以在草稿纸上记下重要的词）。

概念 8.2.4 (避免遗漏最后步骤的错误)

有时，在解决问题时，你可能会因为太专注于考试进度而忘记最后的重要步骤。

例如，在一个问题中，你可能会想“我最后要将答案乘以5”，然后你找到了那个答案但忘记了乘以5。避免这种情况的方法是：

• 在你的草稿纸或试卷上大而粗地写下“记住...”。

备注 8.2.5

一个非常常见的阅读错误是混淆“非负”和“正”这两个词。记住，非负包括0，而正不包括！

概念 8.2.6 (避免做出错误假设)

通常，你可能只是认为某事是正确的，并在问题的其余部分假设它是正确的，而实际上它是错误的。证明你所有的假设可能太耗时。然而，我们建议至少看到一些理由来解释为什么你的假设应该是正确的（除非你正在使用元解题技巧）。

8.2.7 (避免分类讨论错误) 在许多分类讨论问题中，你可能会：

• 漏数可能性
• 重数可能性
• 遗漏边界/极端情况

避免它们的一些策略是：

• 有条理地进行分类讨论。
• 确保你所有的情况都有效。一个简单的方法就是尝试你的情况中的几个例子，看看它们是否真的有效。
• 特别要检查极端情况是否有效。
• 确保所有情况都是互斥的，并且你没有重复计算情况之间共有的任何东西。
• 确保你的情况涵盖了问题要求的所有可能性。
• 用多种方式解决问题（例如，同时使用分类讨论和补集计数）。

备注 8.2.8

我知道其中一些策略可能需要大量额外的时间，所以我们建议分析你是如何犯粗心错误的，然后据此决定你会遵循哪些策略。

8.3 最大化分数的其他策略

概念 8.3.1 (规划你的时间)

确保规划好你的时间。

• 问题1-10通常简单，11-20中等，21-25难。
• 有时早期的一个问题可能很难或计算量大，或者后期的一个问题可能很容易。
• 不要卡在一个问题上。继续前进，稍后再回来。
• 标记任何你不确定但感觉可以解决，或者你已解决但对答案不自信的问题。
• 合理分配你的时间。
• 为最后10个问题留出足够的时间。
• 留一些时间回顾标记的问题并检查你的工作。

概念 8.3.2 (猜测策略) 如果你想猜测，请确保记住以下几点：

• 留空一题得1.5分，所以如果你不知道如何解决问题，就留空。
• 尝试使用上面的元解题策略。
• 如果你能将选项缩小到2-3个，只有那时才进行有根据的猜测。

8.3.3 (考试日策略) 以下是一些考试日策略：

• 不要在考试前一天试图临时抱佛脚或学习 - 只需从这本书中复习一些公式或策略。
• 放松。
• 睡个好觉。
• 吃健康的食物。
• 冥想。
• 吃黑巧克力。
• 听音乐。
• 或者做任何其他让你感到放松的事情。

概念 8.3.4 (问题解决策略)

尝试记住这些问题解决策略：

• 当你卡住时，尝试使用你尚未使用的问题中的信息。
• 解决问题时，想想可能用到的技巧。
• 不要固守一种方法，换个思路，稍后再回来，以全新的视角看问题。
• 在看似复杂的问题中，尝试小情况以寻找模式，这可以让你弄清楚如何解决问题以及可能存在什么模式（类似于工程归纳法）。

概念 8.3.5 (AIME晋级)

根据近年的晋级分数线，要晋级AIME，你需要至少105分。但为了保险起见，你应该争取110+分。为此，你需要一个17-0-8（正确-错误-空白）的答题分布，或者18-5-2，19-6-0，或者更好的分布。

概念 8.3.6 (USAJMO/USAMO晋级)

要晋级USAJMO/USAMO，你可能需要至少120分才有好的机会（当然，这也在很大程度上取决于你的AIME分数）。

8.3.7

AMC 10/12B的另一个策略是，如果你预计在AMC 10/12A中获得了AIME晋级分数，那么你应在AMC 10/12B中尝试解决更多问题，采取“高风险高回报”的方法；然而，如果你在A卷中表现不佳，你应该采取稳妥的策略。

8.3.8

最后，但最重要的是，不要对自己会表现如何感到过度压力！这只是一个数学竞赛，你将来很可能还有更多机会。

祝你在数学竞赛中好运。我们希望你觉得这本书有用！我们非常感谢你的反馈，可以通过omegalearn.info@gmail.com联系我们。谢谢！

致谢

感谢以下出色的贡献者审阅本书并帮助改进：

Alexander C.
Kevin L.
Steve H.
Yushen L.

我们还要感谢多年来所有帮助过我们数学之旅的数学老师和教练。他们的指导和鼓励对于追求我们对数学的热情是无价的。

Ms. Betty Chan
Mrs. Rita Korsunsky