CF1996D题解

D.Fun

题目描述

Given two integers n
and x, find the number of triplets (a,b,c) of positive integers such that ab+ac+bc≤nand a+b+c≤x.

Note that order matters (e.g. (1,1,2) and (1,2,1) are treated as different) and a, b, c must be strictly greater than 0.

Input:
The first line contains a single integer t(1≤t≤1e4) — the number of test cases.Each test case contains two integers n and x(1≤n,x≤1e6).It is guaranteed that the sum of n over all test cases does not exceed 106 and that the sum of x over all test cases does not exceed 1e6.

Output:
Output a single integer — the number of triplets (a,b,c) of positive integers such that ab+ac+bc≤n and a+b+c≤x.

题目概述

给定两个整数n和x，求满足以下要求的三元组(a,b,c)的个数:

• ab+ac+bc<=n
• a+b+c<=x
• a,b,c都为正整数
• 三元组是有序的

解题思路

首先先看数据的范围过大，三重循环查找会超时，我们看看是否有什么方法可以优化一下。尝试将三重循环转为二重循环，三个未知数的话可以尝试变为两个未知数枚举，将第三个数利用关系用其他两个数来表示。

尝试用a,b计算c的可行范围：
因为

ab+ac+bc<=n

所以

ab+c(a+b)<=n
(a+b)c<=n-ab
c<=(n-ab)/(a+b)

又因为

a+b+c<=x

所以c的又一个范围为

c<=x-a-b

综上，c的范围为：

c的最大值=min((n-ab)/(a+b),x-a-b),并且c>=1

故，只要c的最大值大于1，那么c=1到c=c_max都是合法的解，一共有c_max个满足条件的三元组（对于某一对a，b），将c_max计数到ans中。当枚举完所有的a，b时，得到的ans即是结果

AC Code

#include <bits/stdc++.h>

#define endl '\n'
#define int long long

void solve(){
  int n, x;
  std::cin >> n >> x;

  int ans = 0;
  for (int i = 1; i <= std::min(n, x);++i){
    for (int j = 1; i * j <= n && i + j <= x;++j){
      int num = std::min((n - i * j) / (i + j), x - (i + j));
      ans += num;
    }
  }

  std::cout << ans << endl;
}

signed main()
{
  std::ios_base::sync_with_stdio(0);
  std::cin.tie(nullptr);
  std::cout.tie(nullptr);
  
  int _;
  //_=1;
  std::cin>>_;
  while(_--){
    solve();
  }

  return 0;
}