「模拟赛20190329」作业 泰勒展开

题目描述

小W的数学老师总是喜欢布置计算题作为业，小W却只对证明题感兴趣。
这一次，小W的数学老师布置了一道计算题：
已知递推公式
\(f_n=1-nf_{n-1}(n>0)\)
\(f_0=1-e\)
对于老师给定的\(n\)，小W需要计算\(f_n\)。小W认为这个作业非常简单而且无聊，所以他找到了你，希望你能帮助他完成这道作业题。

输入

第一行一个整数\(n\)，表示给定的\(n\)。

输出

一行一个浮点数表示答案，保留\(4\)位小数。

样例

样例输入

#样例1
0
#样例2
2

样例输出

#样例1
0.6321
#样例2
0.2642

数据范围

对于\(10\%\)的数据\(n<=10\)
对于\(100\%\)的数据满足\(n<=10000\)

题解

真·数学题。

解法\(1\)：
前\(10\)个暴算，\(11-50\)二分答案用\(f_{n-1}=\frac{1-f_n}{n}\)验证。更大的算近似值\(f_n\approx\frac{1}{n+2}\)。

解法\(2\)：
\(Orz\)，跪膜\(Freopen\)大爷。
将\(\frac{1}{e}\)泰勒展开变成\(\sum(-1)^n\cdot \frac{1}{n!}\)
将\(f_n\)变成非递推形式，这一步很好想：

\[f_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\cdot\frac{n!}{i!}-(-1)^n\cdot n!\cdot\frac{1}{e} \]

将\(\frac{1}{e}\)带入进去，注意\(\frac{1}{e}\)展开后是有无穷项的。

\[f_n=\sum_{i=0}^{n}(-1)^{n-i}\cdot\frac{n!}{i!}-\sum_{i=0}(-1)^{n+i}\cdot \frac{n!}{i!} \]

因为\(n-i\)和\(n+i\)的奇偶性是相同的，我们可以前后抵消一大坨

\[f_n=\sum_{i=n+1}(-1)^{n+i}\cdot\frac{n!}{i!}=\sum_{i=1}(-1)^{i}\cdot\frac{n!}{(n+i)!} \]

发现\(\frac{n!}{(n+i)!}\)必定小于\(1\)，而且是在做除法，精度不会流失，那么我们就可以枚举\(i\)，直到某一项小于\(eps\)之后就停止，由于是以阶乘的速度减小，所以只需要枚举几项就可以了。

代码采取的是第二种方法。

\(Code:\)

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
#define eps 1e-6
int n;
double ans, now;
int main()
{
	scanf("%d", &n);
	now = 1;
	for (int i = 1; now >= eps; i++)
	{
		now = now / (n + i);
		if (i & 1)
			ans += now;
		else
			ans -= now;
	}
	printf("%.4f\n", ans);
}