【数论】扩展欧几里得

$给定n对于正整数a,b,求出一组x，y，使其满足a \times x +  b \times y = gcd(a,b)$

首先给出Bezout定理：

在数论中，裴蜀定理是一个关于最大公约数的定理，说明对任何整数a，b和d，关于未知数x和y的线性方程：ax + by = m，有整数解时当且仅当m是a及b的最大公约数d的倍数。裴蜀等式有解时必然有无穷多个整数解，每组x，y都称为裴蜀数，可用扩展欧几里得算法求得。

$已知gcd(a,b) = gcd(b,a \% b),即ax + by = bx + a \% b \times y =d;$
$当b =0，ax+0=d,x = 1,y = 0;$
$当b \neq 0,$
$bx^{'} + (a - \left \lfloor \frac{a}{b}  \right \rfloor b)y^{'} = d;$
$ay^{'} + b(x^{'} - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y^{'}) = d;$
$x = y^{'},y = x^{'} - \left \lfloor \frac{a}{b} \right \rfloor y^{'};$

 

#include <iostream>
using namespace std;
int gcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int d = gcd(b,a%b,x,y);
        int tmp = x;
        x = y;
        y = tmp - a/b*y;
        return d;
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int a,b,x,y;
        cin >> a >> b;
        gcd(a,b,x,y);
        cout << x << " " << y << endl;
    } 
    return 0;
}

 

线性同余方程：

 $给定a,b,m,对于每组数求出一个x，使其满足a \times x \equiv b(mod m),如果误解则输出 impossible$

$对于a \times x \equiv b(mod m)，\exists y \in Z,ST \quad ax = ym+b;$
$即ax-my=b,根据裴蜀定理，b必须得是d的倍数才可能有整数解，即b = kd;$
$令x' = x/k,y'=-y/k,可得ax'+my'=d,因此使用扩展欧几里得算法求解出x',再扩大k=\frac{b}{d} 倍即可。$

#include <iostream>
using namespace std;

int exgcd(int a,int b,int& x,int& y)
{
    if(!b)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
    }
    else
    {
        int d = exgcd(b,a%b,y,x);
        y = y - a/b*x;
        return d;
    }
}

int main()
{
    int n;
    cin >> n;
    while(n--)
    {
        int a,b,m,x,y;
        cin >> a >> b >> m;
        int d = exgcd(a,m,x,y);
        if(b % d)
            cout << "impossible" << endl;
        else
            cout << (long long)x  * b / d % m << endl; 
    }
    return 0;
}