CF601D Acyclic Organic Compounds

洛谷 CF

• 给出一棵 \(n\) 个点的有根树，每个点上有一个字符 \(s_i\) 和权值 \(c_i\)。

• 定义 \(str(u,v)\) 为 \(u\) 到 \(v\) 路径上所有点上的字符顺次拼接得到的字符串。

• 定义 \(\text{dif}(u)\) 为在 \(u\) 子树内任选一个点 \(v\)，可以得到多少种本质不同的 \(str(u,v)\)。

• 求 \(\max\limits_{i=1}^n (\text{dif}(u)+c_u)\)，以及多少个点取到最大值。

• \(n\le 3\times 10^5\)。

首先本质不同的 \(str(u,v)\) 等价于本质不同的 \(str(v,u)\)。考虑树上启发式合并，用 std::set 维护每个子树内有多少种本质不同的哈希值。

但是这题又不太一样，因为每个点继承重儿子时，重儿子内的所有 \(str(v,u)\) 都要拼上当前点的字符，因此哈希值需要整体乘 / 加。

考虑维护 \(mul,add\) 两个标记，表示 std::set 里的元素要乘上 \(mul\)，再加上 \(add\) 才能得到真实值。那么我们 std::set 里维护的值，就是与标记运算后能得到真实值的数（称为 \(base\)）。那么有几种真实值，就是有几种 \(base\)。遍历轻儿子子树插入 \(base\) 就可以得到当前子树的 std::set。

由于轻儿子子树内的点是不需要与 \(tag\) 运算的，因此它们的 \(base\) 就是要“撤销”标记，再与标记运算，相当于不变，即真实值。所以还需要求出 \(mul\) 的逆元来撤销。

还要注意标记的合并，比如我先乘 \(a\) 加 \(b\)，再乘 \(c\) 加 \(d\)，那么对于一个数 \(x\) 而言，它会变成 \(c(ax+b)+d=acx+bc+d\)，此时 \(mul\) 变成 \(ac\)，\(add\) 变成 \(bc+d\)。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log^2 n)\)（应该可以用哈希表做到 \(\mathcal{O}(n\log n)\)），空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\)。注意要写双哈希。

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