CF1062E Company

来一个小丑做法，不用观察太多性质，符合像我这样 DS 学魔怔的蒟蒻体质，目前题解区没有看到，麻烦管理再单独开一下题解通道。

洛谷 CF

• 给出一棵 \(n\) 个点的有根树以及 \(q\) 次询问，每次询问给出 \(l,r\)，你要去掉 \([l,r]\) 中的一个点，使得剩余点 \(\text{LCA}\) 的深度最大。

• \(n,q\le 10^5\)。

我们考虑怎样的点可以成为 \(\text{LCA}\)，显然它一定在 \(l\) 到根的路径、\(r\) 到根的路径的并集中。因为只能删去一个点，所以最终的 \(\text{LCA}\) 一定是 \(l,r\) 中至少一个点的祖先。

称点 \(u\) 向上走 \(k\) 条边到达的点为 \(u\) 的 \(k\) 级祖先，不难发现答案具有单调性。即，若 \(u\) 的 \(k\) 级祖先能成为公共祖先，则 \(u\) 的 \(k+1\) 级祖先也可以成为公共祖先。

考虑对两条根链分别二分出最近的祖先。一个点 \(u\) 能成为剩余点的祖先，当且仅当其子树中 \([l,r]\) 内的点个数 \(\ge r-l\)。若个数 \(=r-l+1\)，则删去任意一个点。若个数 \(=r-l\)，则删去那个缺失的点。否则，我若任意删除 \([l,r]\) 内的一个点，剩余点中都存在一个点，使得 \(u\) 不是它的祖先。

所以判定可以转化为子树数点，用 dfs 序拍平上主席树维护即可。

二分出来两个级别后，选择深度较大的 \(k\) 级祖先即可。

但是这题还要输出删除哪个点。我们记选择的祖先为 \(anc\)。若 \(anc\) 子树内包含了 \([l,r]\) 的所有点，则任意输出一个即可。否则考虑找到那个没出现的点。

这个问题等价于在区间内找到给定值域内最小的未出现的数。设它为 \(x\)，则 \(x\) 一定是一个最小的数，满足 \([l,x]\) 内的数没有全部出现过。同样具有单调性，可以二分再使用主席树判定，复杂度瓶颈不变，但是常数太大了，会被卡。

所以我们在主席树上带边界地二分，这样单次找数的时间复杂度为 \(\mathcal{O}(\log n)\)。瓶颈的常数会除以 \(2\)。

但是这样你还是会在最后一个点被卡。

我们发现最后一个点是链，因此直接特判链的情况即可。

由于 CF 特殊的构造链的方式（点 \(i\) 的父亲是 \(i-1\)），可以方便我们的判断，以及回答的时候直接输出两个 \(l\) 即可。

若链构造得更加一般，就 dfs 判定每个点是否只有一个儿子，回答的时候删去深度最小的点，\(\text{LCA}\) 的深度为深度次小的点，用一棵线段树维护。笔者没有实现过，这部分有错还希望能够提出来。

然后就可以配合卡常通过此题。时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log ^2 n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。

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