P9058 [Ynoi2004] rpmtdq / P9678 [ICPC2022 Jinan R] Tree Distance

洛谷

人生中第一篇 Ynoi 题题解，好激动。

• 给出一棵 \(n\) 个点的树，边有边权。

• 记 \(\text{dist}(u,v)\) 为 \(u,v\) 两点简单路径上的边的权值之和。

• 有 \(q\) 次询问，每次询问给出 \(l,r\)，求 \(\min\limits_{l\le i<j\le r} \text{dist}(i,j)\)。

• \(n\le 2\times 10^5\)，\(q\le 10^6\)。

称 \((i,j)\,(i<j)\) 为一个点对，若把 \(\text{dist}(i,j)\) 看作改点对的权值，则我们要求解一个二维偏序问题。

现在的问题就是点对太多了，一共有 \(\mathcal{O}(n^2)\) 个。不过，真的需要这么多点对吗？比如现在有两个点对 \((x_1,y_1)\) 和 \((x_2,y_2)\) 满足 \(x_1\le x_2\le y_2\le y_1\) 且 \(\text{dist}(x_1,y_1)\ge \text{dist}(x_2,y_2)\)，你发现若查询的区间包含了 \((x_1,y_1)\)，就一定包含了 \((x_2,y_2)\)，而且 \((x_2,y_2)\) 的权值更小。因此 \((x_1,y_1)\) 这个点对是没有用的。我们称 \(\boldsymbol{(x_2,y_2)}\) 支配了 \(\boldsymbol{(x_1,y_1)}\)。

我们称一个点对为支配点对，当且仅当它不被其他点对支配。

考虑找出一个集合 \(T\) 包含所有的支配点对且大小可接受。我们来找一下一个点对成为支配点对的必要条件。

考虑点分治，对于一个支配点对 \((i,j)\)，则一定存在一个分治重心 \(rt\) 满足 \(i,j\) 在 \(rt\) 不同儿子的子树中。不妨钦定 \(\text{dist}(i,rt)\le \text{dist}(j,rt)\)。设 \(S\) 表示当前联通块中满足 \(\text{dist}(x,rt)\le \text{dist}(j,rt)\) 且 \(x\ne j\) 的 \(x\) 构成的集合，则 \(\boldsymbol{i}\) 一定是 \(\boldsymbol{S}\) 中最大的 \(\boldsymbol{<j}\) 的数（前驱）或最小的 \(\boldsymbol{ >j}\) 的数（后继）。

为什么？考虑反证法，以前驱为例，设 \(j\) 的前驱为 \(pre\)，若 \(i<pre\)，根据 \(S\) 的定义可知 \(\text{dist}(i,rt),\text{dist}(pre,rt)\le \text{dist}(j,rt)\)。

此时一定满足：

• \(\text{dist}(i,pre)\le \text{dist}(i,rt)+\text{dist}(pre,rt)\le \text{dist}(i,rt)+\text{dist}(j,rt)=\text{dist}(i,j)\)。

  \(\text{dist}(i,pre)\le \text{dist}(i,rt)+\text{dist}(pre,rt)\) 是因为相较于后者前者要减去根到 \(\text{LCA}\) 路径的边权和。

• \(i<pre<j\)。

你发现 \((i,j)\) 被 \((i,pre)\) 支配了。后继的证法类似，此处不再赘述。

考虑这样一个过程，对于每一层点分治，对于每一个点维护集合 \(S\)，并找到前驱、后继并将该点对加入 \(T\)。那么任意一个支配点对 \((i,j)\)，点分治进行到使得它们在两棵不同子树中的联通块时，因为 \(i\) 一定是前驱或后继，那么对于 \(j\) 这个点找前驱、后继的时候，就把这个点对找到了。所以这样找到的 \(\boldsymbol T\) 集合包含了所有支配点对。

并且，由于点分治只会进行 \(\boldsymbol{\mathcal{O}(\log n)}\) 层，每一层每个点带来 \(\boldsymbol{\mathcal{O}(1)}\) 个点对，因此找到的总点对数量为 \(\boldsymbol{\mathcal{O}(n\log n)}\) 个。

具体地，如何实现这个构造 \(T\) 的过程？对于每一个联通块的点分治，将所有点 \(u\) 按照编号升序排序。正着反着扫一遍，维护一个随着 \(u\) 递增 / 递减，\(\text{dist}(u,rt)\) 不降的单调栈。那么对于一个点 \(v\)，它就是被它出栈的那些点的前驱 / 后继。

我们已经得到了集合 \(T\)，那么拿 \(T\) 中的点对去做二维数点即可。考虑离线 + 倒序扫描 \(i\) 保证 \(l\le i\)，用树状数组维护 \(j\le r\) 求前缀最值即可。至于 \(\text{dist}(i,j)\)，用树剖 + \(\text{LCA}\) 求一下即可。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log^2 n+q\log n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log n+q)\)。

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