ABC248Ex Beautiful Subsequences

洛谷 AT

• 给定长度为 \(n\) 的排列 \(a_1\sim a_n\) 以及整数 \(k\)，求有多少个区间 \([l,r]\) 满足 ：

\[\max\limits_{i=l}^r a_i-\min\limits_{i=l}^r a_i \le r-l+k \]

• \(n \le 1.4\times 10^5\)，\(k\le 3\)。

你看到这个 \(k\le 3\) 以为复杂度多少和 \(k\) 有点关系，但是我想告诉你：

两只 \(\log\) 跑得快，序列分治真可爱。

特殊性质不依赖，\(n,k\) 同阶照样快。

考虑分治，设当前分治区间为 \([L,R]\)，中点 \(mid=\left\lfloor\dfrac{L+R}{2}\right\rfloor\)。考虑如何统计跨过中点的贡献。

考虑 \(mid\rightarrow L\) 扫描左端点 \(i\)，统计怎样的右端点 \(j\,(j\in(mid,R])\) 合法。

预处理数组 \(pmx_x=\max\limits_{u=mid+1}^x a_u,pmn_x=\min\limits_{u=mid+1}^x a_u\)。在扫描的过程中同时记录 \(mx=\max\limits_{u=i}^{mid}a_u,mn=\min\limits_{u=i}^{mid}a_u\)。

维护两个指针 \(jmx,jmn\)，使得：

• 当 \(j\in (mid,jmx)\) 时，\(\max\limits_{u=i}^j a_u = mx\)；当 \(j\in [jmx,R]\) 时，\(\max\limits_{u=i}^j a_u = pmx_j\)。

• 当 \(j\in (mid,jmn)\) 时，\(\min\limits_{u=i}^j a_u = mn\)；当 \(j\in [jmn,R]\) 时，\(\min\limits_{u=i}^j a_u = pmn_j\)。

不难发现当 \(\boldsymbol i\) 单调递减时，\(\boldsymbol{jmx,jmn}\) 单调不降。

分两大种、六小种情况讨论（加粗的是结论）：

• 当 \(jmn\le jmx\) 时：

  • 当 \(j\in(mid,jmn)\) 时，满足的条件等价于 \(mx-mn\le j-i+k\)，变形成 \(j\ge mx-mn + i - k\)。

    即统计有多少 \(\boldsymbol j\) 满足 \(\boldsymbol{j\in (mid,jmn)}\) 且 \(\boldsymbol{j\ge mx-mn+i-k}\)。

  • 当 \(j\in [jmn,jmx)\) 时，满足的条件等价于 \(mx-pmn_j\le j-i+k\)，变形成 \(j+pmn_j\ge i+mx-k\)。

    即统计有多少 \(\boldsymbol{j}\) 满足 \(\boldsymbol{j\in[jmn,jmx)}\) 且 \(\boldsymbol{j+pmn_j\ge i+mx-k}\)。

  • 当 \(j\in [jmx,R]\) 时，满足的条件等价于 \(pmx_j-pmn_j\le j-i+k\)，变形成 \(j-pmx_j+pmn_j\ge i-k\)。

    即统计有多少 \(\boldsymbol{j}\) 满足 \(\boldsymbol{j\in[jmx,R]}\) 且 \(\boldsymbol{j-pmx_j+pmn_j\ge i-k}\)。

• 当 \(jmn>jmx\) 时：

  • 当 \(j\in(mid,jmx)\) 时，满足的条件等价于 \(mx-mn\le j-i+k\)，变形成 \(j\ge mx-mn + i - k\)。

    即统计有多少 \(\boldsymbol j\) 满足 \(\boldsymbol{j\in (mid,jmx)}\) 且 \(\boldsymbol{j\ge mx-mn+i-k}\)。

  • 当 \(j\in[jmx,jmn)\) 时，满足的条件等价于 \(pmx_j-mn\le j-i+k\)，变形成 \(j-pmx_j\ge i-mn-k\)。

    即统计有多少 \(\boldsymbol j\) 满足 \(\boldsymbol{j\in [jmx,jmn)}\) 且 \(\boldsymbol{j-pmx_j\ge i-mn-k}\)。

  • 当 \(j\in [jmn,R]\) 时，满足的条件等价于 \(pmx_j-pmn_j\le j-i+k\)，变形成 \(j-pmx_j+pmn_j\ge i-k\)。

    即统计有多少 \(\boldsymbol{j}\) 满足 \(\boldsymbol{j\in[jmn,R]}\) 且 \(\boldsymbol{j-pmx_j+pmn_j\ge i-k}\)。

我们发现六种情况本质上是四类统计，每一类统计都是二维数点。

具体地，建立四棵主席树 \(t1,t2,t3,t4\)，分别对于每个前缀 \((mid,p]\,(p\in(mid,R])\) 版本，在节点 \([l,r]\) 内维护这个前缀中有多少个 \(j,j+pmn_j,j-pmx_j,j-pmx_j+pmn_j\) 的值在 \([l,r]\) 这个范围内。

统计的时候，先看是哪一大类，再对于三种小类，运用结论得到要统计的权值区间，并将 \(j\) 所在的范围拆成两个前缀版本相减的形式去做区间求和即可。

边界：当 \(L=R\) 时，返回 \(1\)。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log^2 n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n\log n)\)。据说二维数点的时候有更高明的桶做法，但是我太弱了不会。

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