CF827D Best Edge Weight

洛谷 CF

• 给出一张 \(n\) 个点 \(m\) 条边的无向带权图，对于每一条边，求出它的边权最大修改为多少时，它仍然在图的所有最小生成树上。

• 每条边的询问相互独立，即修改一条边时，其它边的权值不是修改后的权值而是这条边输入的权值。

• \(n,m\le 2\times 10^5\)。

约定：记 \((u,v,w)\) 为 \(u,v\) 两点之间边权为 \(w\) 的连边。

考虑先求出原图的一棵最小生成树，并对其重链剖分。分两种情况考虑。

• 对于最小生成树上的边，若增大它的权值，它会被某些非树边代替，所以它的最大权值必须小于能代替它的最小的非树边的权值。因此维护一个 \(mn\) 数组，\(mn_i\) 表示能覆盖第 \(i\) 条边的最小非树边边权。考虑对于每一条非树边 \((u,v,w)\)，所有最小生成树上 \(u,v\) 路径上的边的 \(mn\) 值，都要对 \(w\) 取 \(\min\)，使用线段树维护。第 \(i\) 条边的答案即为 \(mn_i-1\)。若找不到边替换它则无解。

• 对于不是最小生成树上的边 \((u,v,w)\)，若将其加入，则形成了一个包含 \(u,v\) 两点最小生成树上路径的环，那么需要在 \(u,v\) 两点最小生成树上的路径删去一条边，那么肯定是删去最大的那条边（设其权值为 \(mx\)），则这条非树边的答案为 \(mx-1\)。

对每条重链单独建线段树，对于一次路径操作，只有 \(\mathcal{O}(1)\) 条链是不完整的，需要拆成 \(\mathcal{O}(\log n)\) 个区间；剩下 \(\mathcal{O}(\log n)\) 条链都是完整的，操作的时候只会访问到根节点，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(1)\)。

综上，时间复杂度为 \(\mathcal{O}(m\log n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n+m)\)，常数略大。

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