2023 滨江区信息学竞赛复赛题解

A

• 对于正整数 \(x\)，定义 \(p(x)\) 表示其所有非 \(0\) 数位上的数的乘积。有一个函数：

  \(f(x)=\begin{cases}x,x\le 9\\ f(p(x)),\text{otherwise}\end{cases}\)

• 给出 \(n\)，求 \(f(n)\)。

直觉告诉我们一直进行 \(x\leftarrow p(x)\) 的操作不会进行太多次（不太会证），直接递归即可。

B

• 打印边长为 \(2^n\) 的三角形，其中边长为 \(2^i\) 的三角形由三个边长为 \(2^{i-1}\) 的三角形拼成，边长为 \(1\) 的三角形为 1。中心用 \(0\) 填充。

• \(n\le 10\)。

根据三角形的构造方式，设计一个递归函数 solve(x, y, k) 表示打印以 \(x,y\) 为顶点，边长为 \(k\) 的三角形，先调用三次 solve(..., ..., k >> 1) 打印三个小三角形，然后用 \(0\) 填充中心区域。

时间、空间复杂度均为 \(\mathcal{O}(4^n)\)。

C

• \(n\) 个人，每个人有姓名（字符串）、学号（整数）、性别（字符）三个属性。每个人除性别外的信息保证不同。

• \(m\) 次查询，给出两个参数，为字符串或整数，输出这两参数对应的人性别是否不同。

• \(n,m\le 1000\)，字符串长度为常数级别。

用 map 建立姓名、学号与性别的映射。读入参数时要都用字符串读，然后再转成整数。最后在 map 里面查询即可。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}((n+m)\log n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\)。

D

• 已知 \(1998\) 年 \(1\) 月 \(1\) 日是星期四，求 \(n\) 年有多少个月的 \(13\) 号是星期五。

• \(n\ge 1998\)。经实测，\(\boldsymbol{n}\) 不会很大。

先算出 \(n\) 年 \(1\) 月 \(1\) 日是星期几，然后按照月份枚举天。

用一个变量 \(d\)，表示这是从 \(1998\) 年 \(1\) 月 \(1\) 日所在星期星期一起的第几天，算出当前日期的 \(d\)，是星期五的条件为 \(d\bmod 7=5\)。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(1)\)。

E

• \(n\) 皇后问题。新增限制：给出一个点 \(x,y\)，与这个点八联通以及其本身位置不能放皇后。求方案数。

• \(n\le 12\)。

深搜、回溯，枚举每一行的皇后，判断当前列、斜线是否被攻击。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}(n!)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n^2)\)。

F

• 输出 \(m\sim n\) 之间的所有质数。

• \(m\le n\le 10^7\)。

欧拉筛板子。时间、空间复杂度均为 \(\mathcal{O}(n)\)。

G

• 平面上有 \(n\) 个关键点，还有一个动点，\(m\) 次操作，每次动点向上、下、左、右移动一步，每次移动后，求该动点到所有关键点的曼哈顿距离之和。

• \(n\le 10^5\)，\(m\le 3\times 10^5\)。

移动就是给你 \(m\) 个定点做 \(m\) 次询问，套路拆绝对值，然后是二维数点板子。

时间复杂度为 \(\mathcal{O}((n+m)\log(n+m))\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(n+m)\)。

鲜花：线段树被卡空间了，【数据删除】比赛开 \(64\text{MB}\)。但是没顶格造数据，数组开小就过了。笔者会树状数组数点的，只是觉得后缀 BIT 或做神秘映射不太习惯。

H

• 数轴上有 \(n\) 个点，每个点上有权值 \(f_i\)，每个点走到左边的第一个点距离为 \(t_i\)，每过 \(1\) 单位时间，每个点权值减少 \(d_i\)，直到 \(0\) 为止。

• 你有 \(12h\) 单位的时间，初始在 \(1\) 号点，你可以在数轴上任意走动，花费两点间距离的耗时；或获取点的权值，耗时为 \(1\)。

• \(n\le 25\)，\(h\le 16\)。

这里先令 \(h\) 乘上 \(12\)。

考虑 dp。需要有函数：

• \(\text{calc}(i,j)\) 表示还剩 \(j\) 单位时间，在第 \(i\) 个点，能得到多少权值。

• \(\text{dis}(i,j)\) 表示 \(i,j\) 两点间的距离。

有转移 \(f_{i,j}=\max\limits_{k=1}^n[f_{k,j-1-\text{dis}(i,k)}+\text{calc}(i,j)]\)，其中 \(f_{i,j}=0\,(j\le 0)\)。

记忆化搜索实现。没调出来 /fn。或请求叉。

时间、空间复杂度均为 \(\mathcal{O}(nh)\)。

I

• 三个骰子，每个骰子等概率出现 \(1\sim s_i\) 的数字，将三个骰子上的数相加，出现概率最大的数是多少？输出最大的那个。

• \(s_i\le 10^5\)。

一眼背包。将概率最大转化成相加的方案数最多。设 \(f_{i,j}\) 表示前 \(i\) 个骰子，和为 \(j\) 的方案数，其中 \(f_{0,0}=1\)。

有转移：\(f_{i,j}=\sum\limits_{k=\max\{0,j-s_i-1\}}^{j-1}f_{i-1,k}\)，前缀和优化即可，注意边界。

时间、空间复杂度均为 \(\mathcal{O}(s_1+s_2+s_3)\)。

J

• 数轴上有 \(n\) 个人，每个人有一个火把，一开始第 \(k\) 个人的火把被点燃。一个火把被点燃后只能燃烧 \(t\) 秒。

• 每个人可以用自己的火把点燃其他人的火把，需要跑到其他人的位置与其重合。

• 假设每个人的速度相同，请求出一个最小的速度，使得所有人的火把都被点燃过。

• \(n\le 10^5\)。

赛时就看了一会，不会 /cf。润了。