JOISC2016 H 回转寿司

看到题解里面没有较为详细的证明，对萌新极其不友好。于是有了这篇题解。

洛谷

AT

• 给出长为 \(n\) 的环，环上的点有点权 \(a_i\)。\(q\) 次询问，每次给出一个区间 \([l,r]\) 和数 \(A\)（因为是环所以 \(l\) 可以 \(>r\)）。执行：

  for(int i=l;i<=r;++i){
      if(a[i]>A){
          swap(A,a[i]);
      }
  }
  

  输出最后 \(A\) 的值。询问不相互独立，即 swap 操作会真的发生。

• \(n\le 4\times 10^5\)，\(q\le 2.5\times 10^4\)。

先要证明几个引理：

Ⅰ - \(A\ge\max\limits_{i=l}^ra_i\) 时，区间和 \(A\) 都不会发生改变。

证明

因为不会进行任何交换操作。

Ⅱ - 除 Ⅰ 的情况外，对某个区间进行操作后，\(A\) 会变成区间的最大值。

证明

因为 \(A\) 本身 \(<\max\limits_{i=l}^ra_i\)，与之前较小的数交换后，仍 \(<\max\limits_{i=l}^ra_i\)。因此会与最大值进行交换。在此之后不会进行任何交换操作。

Ⅲ - 区间内被交换的数构成了一个极长的上升子序列，且交换后会整体右移一位，第一位变成原来的 \(A\)，最后一位消失。

证明

因为若当前数被交换，则下一个数必须大于当前数。且一个数先与 \(A\) 交换，再与下一个数交换，相当于移动到了下一个数的位置。第一位与原来的 \(A\) 进行了交换，最后一位是序列最大值，不会进行更多的交换操作。

Ⅳ - 若有多个 \(A\) 对区间进行操作，区间的变化与操作顺序无关。

证明

考虑交换相邻的两个操作。操作数相等则无影响。操作数不同时，则考虑小的操作数 \(x\) 先操作与大的操作数 \(y\) 先操作。

首先，若没有另一个数进行操作，则 \(y\) 操作时的极长上升子序列必然是 \(x\) 操作时的极长上升子序列的子序列。