洛谷 P5138 fibonacci
应该是最为详细的一篇题解了。
定义 \(d_u\) 为点 \(u\) 的深度，\(f_i\) 为斐波那契数列第 \(i\) 项，满足 \(f_0=0,f_1=1,f_i=f_{i-2}+f_{i-1}(i>2)\)（同时定义 \(i<0\) 时 \(f_{i}=f_{i+2}-f_{i+1}\)）。
给出以 \(1\) 为根的 \(N\) 个点的树，每个点初始权值为 \(0\)。\(M\) 次操作，两种类型：
\(\texttt{U }x\texttt{ }k\)，将以 \(x\) 为根子树内的所有点 \(u\)，将其权值加上 \(f_{d_u-d_x+k}\)。
\(\texttt{Q }x\texttt{ }y\)，查询 \(x,y\) 路径上点的权值和，模 \(10^9+7\)。
\(N,M\le 10^5\)，\(k\le 10^{18}\)。
需要用到的前置知识：
Ⅰ - \(i<0\) 时，\(f_{i}=(-1)^{i-1}\times f_{-i}\)
粗略地证明：
考虑归纳。
-
易证当 \(i=-1\)，\(i=-2\) 时成立。
-
假设在 \(k\le i\le-2\) 时成立，则当 \(i=k-1\) 时：
-
若 \(k\) 为奇数，则 \(k+1\)，\(k-1\) 均为偶数，\(k-2\) 为奇数。有：
\[f_{k-1}=f_{k+1}-f_{k}=-f_{-k-1}-f_{-k}=-(f_{-k-1}+f_{-k})=-f_{-k+1}=(-1)^{k-2}\times f_{-(k-1)} \]成立。
-
若 \(k\) 为偶数，则 \(k+1\)，\(k-1\) 均为奇数，\(k-2\) 为偶数。有：
\[f_{k-1}=f_{k+1}-f_{k}=f_{-k-1}-(-f_{-k})=f_{-k-1}+f_{-k}=f_{-k+1}=(-1)^{k-2}\times f_{-(k-1)} \]成立。
-
证毕。
Ⅱ - \(f_{m+n}=f_{m-1}\times f_n+f_m\times f_{n+1}\)
粗略地证明：
首先 \(f_{m-1}\times f_n+f_m\times f_{n+1}=f_{n-1}\times f_m+f_n\times f_{m+1}\)。
考虑做差：
所以上面那个式子是成立的。
先钦定 \(m,n\) 为自然数。同样考虑归纳。
-
易证 \(m=0\)，\(n=0\) 和 \(m,n\in[0,1]\) 时均成立。
-
假设在 \(m,n\in[1,k]\) 时成立，则当 \(m,n\in[1,k+1]\) 时，在原值域上新增了三种情况：
-
当 \(m=k+1,n\in[1,k]\) 时：
\[\begin{aligned}f_{m+n}&=f_{m+n-2}+f_{m+n-1}\\&=f_{m-1+n-1}+f_{m-1+n}\\&=f_{m-2}\times f_{n-1}+f_{m-1}\times f_n+f_{m-2}\times f_n+f_{m-1}\times f_{n+1}\\&=f_{m-2}\times (f_{n+1}-f_{n})+f_{m-1}\times f_n+f_{m-2}\times f_n+f_{m-1}\times f_{n+1}\\&=f_{m-2}\times f_{n+1}-f_{m-2}\times f_n+f_{m-1}\times f_n+f_{m-2}\times f_n+f_{m-1}\times f_{n+1}\\&=f_{m-1}\times f_n+(f_{m-2}+f_{m-1})\times f_{n+1}\\&=f_{m-1}\times f_n+f_m\times f_{n+1}\end{aligned} \]成立。
-
当 \(m\in[1,k],n=k+1\) 时（其实本质相同，但是为了完整还是写了）：
\[\begin{aligned}f_{m+n}&=f_{m+n-2}+f_{m+n-1}\\&=f_{m-1+n-1}+f_{m+n-1}\\&=f_{m-2}\times f_{n-1}+f_{m-1}\times f_n+f_{m-1}\times f_{n-1}+f_{m}\times f_{n}\\&=f_{m-2}\times f_{n-1}+f_{m-1}\times f_{n-1}+f_{m-1}\times f_n+f_{m}\times f_{n}\\&=f_m\times f_{n-1}+f_{m+1}\times f_n\\&=f_{m-1}\times f_n+f_m\times f_{n+1}\end{aligned} \]成立。
-
当 \(m=n=k+1\) 时：
\[\begin{aligned}f_{m+n}&=f_{m+n-2}+f_{m+n-1}\\&=f_{m+n-2}+f_{m+n-3}+f_{m+n-2}\\&=f_{m-1+n-1}+f_{m-1+n-2}+f_{m-1+n-1}\\&=f_{m-2}\times f_{n-1}+f_{m-1}\times f_n+f_{m-2}\times f_{n-2}+f_{m-1} \times f_{n-1}+ f_{m-2}\times f_{n-1}+f_{m-1}\times f_n\\&=f_{m-1}\times f_n+f_{m-2}\times(f_{n-1}+f_{n-2}+f_{n-1})+f_{m-1}\times(f_n+f_{n-1})\\&=f_{m-1}\times f_n+f_{m-2}\times f_{n+1}+f_{m-1}\times f_{n+1}\\&=f_{m-1}\times f_n+f_m\times f_{n+1}\end{aligned} \]成立。
-
因此当 \(m,n\in[0,\infty)\) 时成立。
接下来考虑负数的情况：
假设 \(m,n\in[k,\infty)\) 时成立，则当 \(m,n\in[k-1,\infty)\) 时，同样新增三种情况：
-
当 \(m=k-1,n\in[k,\infty)\) 时：
\[\begin{aligned}f_{m+n}&=f_{m+n+2}-f_{m+n+1}\\&=f_{m+1+n+1}-f_{m+1+n}\\&=f_m\times f_{n+1}+f_{m+1}\times f_{n+2}-f_{m}\times f_{n}-f_{m+1}\times f_{n+1}\\&=f_m\times(f_{n+1}-f_n)+f_{m+1}\times(f_{n+2}-f_{n+1})\\&=f_{m}\times f_{n-1}+f_{m+1}\times f_n\\&=f_{m-1}\times f_n+f_m\times f_{n+1}\end{aligned} \]成立。
-
当 \(m\in[k,\infty),n=k-1\) 时：
\[\begin{aligned}f_{m+n}&=f_{m+n+2}-f_{m+n+1}\\&=f_{m+1+n+1}-f_{m+n+1}\\&=f_{m}\times f_{n+1}+f_{m+1}\times f_{n+2}-f_{m-1}\times f_{n+1}-f_m\times f_{n+2}\\&=f_{n+1}\times(f_m-f_{m-1})+f_{n+2}\times (f_{m+1}-f_m)\\&=f_{m-2}\times f_{n+1}+f_{m-1}\times f_{n+2}\\&=f_{m-2}\times f_{n+1}+f_{m-1}\times (f_n+f_{n+1})\\&=f_{m-2}\times f_{n+1}+f_{m-1}\times f_n + f_{m-1}\times f_{n+1}\\&=f_{m-1}\times f_n+(f_{m-2}+f_{m-1})\times f_{n+1}\\&=f_{m-1}\times f_n+f_m\times f_{n+1}\end{aligned} \]成立。
-
当 \(m=n=k-1\) 时：
\[\begin{aligned}f_{m+n}&=f_{m+n+2}-f_{m+n+1}\\&=f_{m+n+2}-(f_{m+n+3}-f_{m+n+2})\\&=f_{m+n+2}-f_{m+n+3}+f_{m+n+2}\\&=f_{m+1+n+1}-f_{m+2+n+1}+f_{m+1+n+1}\\&=f_{m}\times f_{n+1}+f_{m+1}\times f_{n+2} - f_{m+1}\times f_{n+1}-f_{m+2}\times f_{n+2} +f_{m}\times f_{n+1}+f_{m+1}\times f_{n+2}\\&=f_m\times f_{n+1}+f_{m}\times f_{n+1}+f_{m+1}\times (f_{n+2}-f_{n+1})-(f_{m+2}-f_{m+1})\times f_{n+2}\\&=f_{m}\times f_{n+1}+f_{m}\times f_{n+1}+f_{m+1}\times f_n-f_m\times f_{n+2}\\&=f_{m}\times f_{n+1}-f_m\times(f_{n+2}-f_{n+1}) +f_{m+1}\times f_n\\&=f_m\times f_{n+1}-f_m\times f_n+f_{m+1}\times f_n\\&=(f_{m+1}-f_m)\times f_n+f_m\times f_{n+1}\\&=f_{m-1}\times f_n+f_m\times f_{n+1}\end{aligned} \]成立。
因此当 \(m,n\in(-\infty,\infty)\) 时成立，证毕。
有了这两个结论以后，就可以开始做这道题了。
求斐波那契数列想到矩阵快速幂。路径查询问题先想树剖。将以 \(x\) 为根子树内的点 \(u\) 权值加上 \(f_{d_u-d_x+k}\)，相当于加上 \(f_{d_{u}-1}\times f_{k-d_x}+f_{d_u}\times f_{k-d_x+1}\)。将 \(f_{d_{u}-1}\) 和 \(f_{d_u}\) 分开维护（分别记为 \(a,b\)），发现系数是常数，可做。对树剖后的序列建线段树，修改操作就是将子树在序列上对应的区间的两个系数区间加，维护区间权值和 \(sum\)，\(a\) 值的和 \(v_a\)，\(b\) 值的和 \(v_b\)，\(a\) 值的系数懒标记 \(tg_a\)，\(b\) 值的系数懒标记 \(tg_b\)。
记 \(ls\) 为左子，\(rs\) 为右子，\(x\) 为当前节点（和输入的不同）。下传就是：
void down(int x){
if(tga[x]){//需要下传。
sum[ls]=(sum[ls]+va[ls]*tga[x]%M)%M;//答案加上 va[ls]*tga[x]，注意这里要拿 a 值的和来乘，因为 tga[x] 是当前区间的系数，区间内每一项都要乘上这么多，根据乘法分配律就是给和乘上这么多。下面同理。
tga[ls]=(tga[ls]+tga[x])%M;
sum[rs]=(sum[rs]+va[rs]*tga[x]%M)%M;
tga[rs]=(tga[rs]+tga[x])%M;
tga[x]=0;
}
if(tgb[x]){
sum[ls]=(sum[ls]+vb[ls]*tgb[x]%M)%M;
tgb[ls]=(tgb[ls]+tgb[x])%M;
sum[rs]=(sum[rs]+vb[rs]*tgb[x]%M)%M;
tgb[rs]=(tgb[rs]+tgb[x])%M;
tgb[x]=0;
}
}
查询就是跳链查询。
时间复杂度为 \(\mathcal{O}(M\log^2N)\)，空间复杂度为 \(\mathcal{O}(N)\)。
$\bf\color{orange}点击查看代码$
#include<bits/stdc++.h>
#define ls x<<1
#define rs x<<1|1
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll M=1e9+7;
const int N=1e5+5;
char op;
int n,m,f[N],t[N],h[N],d[N],sz[N],dfn[N],id,st[N],ed[N];
ll tga[N<<2],tgb[N<<2],sum[N<<2],va[N<<2],vb[N<<2];
vector<int>g[N];
struct matrix{
int r,c;
ll a[3][3];
matrix(){
memset(a,r=c=0,sizeof a);
}
}A,B,C;
matrix operator*(matrix u,matrix v){
matrix ret;
ret.r=u.r;
ret.c=v.c;
for(int i=1;i<=u.r;++i){
for(int j=1;j<=v.c;++j){
for(int k=1;k<=u.c;++k){
ret.a[i][j]=(ret.a[i][j]+u.a[i][k]*v.a[k][j]%M)%M;
}
}
}
return ret;
}
matrix qpow(matrix x,ll y){
matrix ret=C;
while(y){
if(y&1ll){
ret=ret*x;
}
x=x*x;
y>>=1ll;
}
return ret;
}
ll fib(ll/*WA 30pts 警钟长鸣不开 long long 见祖宗*/ x){
if(x>=0){
return(A*qpow(B,x)).a[1][1];
}else{
ll ret=(A*qpow(B,-x)).a[1][1];
return(-x)&1ll?ret:M-ret;
}
}
void down(int x){
if(tga[x]){
sum[ls]=(sum[ls]+va[ls]*tga[x]%M)%M;
tga[ls]=(tga[ls]+tga[x])%M;
sum[rs]=(sum[rs]+va[rs]*tga[x]%M)%M;
tga[rs]=(tga[rs]+tga[x])%M;
tga[x]=0;
}
if(tgb[x]){
sum[ls]=(sum[ls]+vb[ls]*tgb[x]%M)%M;
tgb[ls]=(tgb[ls]+tgb[x])%M;
sum[rs]=(sum[rs]+vb[rs]*tgb[x]%M)%M;
tgb[rs]=(tgb[rs]+tgb[x])%M;
tgb[x]=0;
}
}
void insert(int x,int l,int r,int k,ll a,ll b){//插入 a，b 两个值。
if(l^r){
int mid=(l+r)>>1;
if(k<=mid){
insert(ls,l,mid,k,a,b);
}else{
insert(rs,mid+1,r,k,a,b);
}
va[x]=(va[ls]+va[rs])%M;
vb[x]=(vb[ls]+vb[rs])%M;
}else{
va[x]=a;
vb[x]=b;
}
}
void modify(int x,int l,int r,int ql,int qr,ll a,ll b){
if(ql<=l&&r<=qr){
if(a){
sum[x]=(sum[x]+va[x]*a%M)%M;
tga[x]=(tga[x]+a)%M;
}
if(b){
sum[x]=(sum[x]+vb[x]*b%M)%M;
tgb[x]=(tgb[x]+b)%M;
}
}else{
down(x);
int mid=(l+r)>>1;
if(ql<=mid){
modify(ls,l,mid,ql,qr,a,b);
}
if(qr>mid){
modify(rs,mid+1,r,ql,qr,a,b);
}
sum[x]=(sum[ls]+sum[rs])%M;
}
}
ll query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l&&r<=qr){
return sum[x];
}
down(x);
int mid=(l+r)>>1;
ll ret=0;
if(ql<=mid){
ret=(ret+query(ls,l,mid,ql,qr))%M;
}
if(qr>mid){
ret=(ret+query(rs,mid+1,r,ql,qr))%M;
}
return ret;
}
ll pathquery(int x,int y){
ll ret=0;
while(t[x]^t[y]){
if(d[t[x]]<d[t[y]]){
swap(x,y);
}
ret=(ret+query(1,1,n,dfn[t[x]],dfn[x]))%M;
x=f[t[x]];
}
if(d[x]>d[y]){
swap(x,y);
}
return (ret+query(1,1,n,dfn[x],dfn[y]))%M;
}
void dfs1(int u,int fa){
sz[u]=1;
for(int v:g[u]){
if(v^fa){
d[v]=d[u]+1;
dfs1(v,f[v]=u);
sz[u]+=sz[v];
}
}
}
void dfs2(int u,int fa){
for(int v:g[u]){
if(v^fa){
if((sz[v]<<1)>sz[u]){
t[h[u]=v]=t[u];
}else{
t[v]=v;
}
dfs2(v,u);
}
}
}
void dfs3(int u,int fa){
insert(1,1,n,st[u]=dfn[u]=++id,fib(1ll*d[u]-1ll),fib(1ll*d[u]));
if(h[u]){
dfs3(h[u],u);
}
for(int v:g[u]){
if((v^fa)&&(v^h[u])){
dfs3(v,u);
}
}
ed[u]=id;
}
int main(){
A.a[A.r=1][A.c=2]=B.a[1][2]=B.a[2][1]=B.a[B.r=2][B.c=2]=C.a[1][1]=C.a[C.r=2][C.c=2]=1ll;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=1,u,v;i^n;++i){
scanf("%d%d",&u,&v);
g[u].emplace_back(v);
g[v].emplace_back(u);
}
dfs1(1,0);
dfs2(t[1]=1,0);
dfs3(1,0);
for(int i=1,x;i<=m;++i){
ll y;
scanf(" %c%d%lld",&op,&x,&y);
if(op^'Q'){
modify(1,1,n,st[x],ed[x],fib(y-1ll*d[x]),fib(y-1ll*d[x]+1ll));
}else{
printf("%lld\n",pathquery(x,(int)y));
}
}
}
浙公网安备 33010602011771号