【算法学习笔记】min-max容斥 极值反演

max-min容斥（极值反演）

即为下式：

\[\begin{equation} \max\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\min\{T\} \end{equation} \]

\[\begin{equation} \min\{S\}=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}\max\{T\} \end{equation} \]

证明： 证明 \(\text{(1)}\) 式即可，\(\text{(2)}\) 式同理。

假设 \(\max\{S\}=\sum\limits_{T\subseteq S}f(|T|)\min\{T\}\)，则 \(f(|T|)\) 为容斥系数
显然，第 \(k\) 小的元素，仅当 \(k\) 为 \(\min\{T\}\) 时有贡献，那么这样的集合 \(T\) 有 \(\sum\limits_{i=0}^{|S|-k}\binom{|S|-k}{i}\) 个。

则第 \(|S|\) 小的元素即为 \(\max\{S\}\)，由上可得

\[\sum_{i=0}^{|S|-k}f(i+1)\binom{|S|-k}{i}=[k=|S|] \]

即为

\[\sum_{i=0}^{n}f(i+1)\binom{n}{i}=[n=0] \]

引理1.1 二项式反演

\[g(n)=\sum_{i=0}^nf(i)\binom{n}{i}\Leftrightarrow f(n)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}g(i) \]

证明可见 OI-wiki

由 引理1.1 得

\[f(n+1)=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}\binom{n}{i}[i=0] \]

将 \(f(n+1)\) 自变量化为 \(1\)，并整理

\[\begin{align} f(n)&=\sum_{i=0}^{n-1}(-1)^{n-i-1}\binom{n-1}{i}[i=0]\\ f(n)&=(-1)^{n-1} \end{align} \]

带入 \(|T|\)

\[f(|T|)=(-1)^{|T|-1}=(-1)^{|T|+1}\quad\square \]

max-min容斥的期望

引理2.1

\[E\left(\sum a_iX\right)=\sum a_iE\left(X\right) \]

则

\[E\left(\max\{S\}\right)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E\left(\min\{T\}\right) \]

\[E\left(\min\{S\}\right)=\sum_{T\subseteq S}(-1)^{|T|+1}E\left(\max\{T\}\right) \]

Card Collector

题目大意
有 \(N\) 种卡片，每次购买有 \(p_i\) 的概率买到第 \(i\) 种，求使得每种都买到的期望购买次数。

数据范围
\(1 \le N \le 20,\sum p_i\le1\)

我们发现，在这题里，设首次获得物品 \(i\) 所需的操作次数为 \(x_i\)，那么问题就转化成了求

\[E(\max\{x_i|i\in[1,n]\}) \]

而此式很难求，考虑用 max-min容斥 转化为求 \(E(\min{S}),S\subseteq\{x_i|i\in[1,n]\}\)。
而在本题中，

\[E(\min{S})=\dfrac{1}{\sum\limits_{i\in S}p_i} \]

由此即可求得。