高等数学A（上）错题整理

错题整理

都是水题，但很多东西脑子抽了就想不到，还是知识的运用不熟练。。。我好笨啊！

三角函数的数感太差了。。

latex技术大爆发！

三、微分中值定理

罗尔定理

设函数 f(x) 在 [0,1] 上连续，在（0，1）可导，且 \(f(0)=0,f(1)=\frac{\pi}{4}\)，试证明方程

\[(1+x^2)f'(x)=1 \]

在（0，1）内至少有一个根。
思路：
令 \(F(x)=f(x)-arctanx\)。继续计算。我居然没想到这个..

四、不定积分

\[d\int f(x)dx=f(x)dx \]

\[\int df(x)=f(x)+C \]

不定积分基础+换元积分法

1. 求不定积分

   \[\int\sqrt{\frac{ln(x+\sqrt{1-x^2})+1}{1+x^2}} dx \]

2. 求不定积分

   \[\int \frac{x}{x-\sqrt{x^2-1}}dx \]

3. 求不定积分

   \[\int\frac{\cos^2{x}-\sin{x}}{\cos{x}(1+e^{\sin{x}}\cos{x})}dx \]

4. 求不定积分

   \[\int\frac{(1+\sin{x})e^x}{1+\cos{x}}dx \]

5. 求不定积分

   \[\int\sin{5x}\sin{3x}dx \]

6. 求不定积分

   \[\int\frac{1-2\cos{x}}{1-\cos{2x}}dx \]

第二类换元积分法（薄弱）

1. 求不定积分

\[\int\frac{x^2dx}{\sqrt{(x^2+1)^3}} \]

2. 求不定积分
   \[\int\frac{x^2dx}{\sqrt{(x^2-a^2)^3}} \]

分布积分法

1. 求不定积分
   \[\int\frac{\ln(\sin{x})}{\sin^2x} \]

五、定积分

tips:

1. 对 t 积分时， x 视为常量，可提至外侧

2. 当积分上下限分别为 h(x),g(x) 时，

   \[\frac{dy}{dx}=f(h(x))h'(x)-f(g(x))g'(x) \]

3. 对式子两边同时取定积分的时候，千万不要遗漏。

4. 华里士公式：

   \[\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^n{x}dx=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos^n{x}dx \]

5. 点火公式：

   

6. 积分区间对称：

   偶倍奇零

7. 判断反常积分是否收敛：

   求极限，极限存在则收敛

8. 限大p大，限小p小

9. 反常积分的判断标准：

   存在无定义点且 \(\int f(x)dx\) 中的 \(f(x)\) 在该点不存在极限（趋于 \(\infty\)）

10. 比较判别法：设 \(0<=f(x)<=g(x)\)

    (1) 当 \(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\) 收敛时，\(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\) 也收敛

    (2) 当 \(\int_{a}^{+\infty}f(x)dx\) 发散时，\(\int_{a}^{+\infty}g(x)dx\) 也发散

    这个方法的使用不太熟练，多多注意。

11. 反常函数 \(\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx\) 不能视为对称区间上的积分，存在瑕点

12. \(\Gamma (x)=\int_{0}^{+\infty}x^{r-1}e^{-x}dx (r>0)\) ，且有 \(\Gamma (r+1)=r\Gamma (r)\) ，\(\Gamma (\frac{1}{2})=\sqrt{\pi}\)

微积分基本公式

1. 设函数 f(x) 连续，$\varphi(x)=\int_{0}^{x2}xf(t)dt $ ，若 $ \varphi (1)=1,\varphi' (1)=5$ ,求 f(1)

2. 计算

   \[\int_{1}^{\sqrt3}\frac{dx}{x\sqrt{1+x^2}} \]

无穷限积分敛散性的判别

1. 判别下式的敛散性（需要用到放缩）
   \[\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx \]

无界函数的反常积分

1. 计算
   \[\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln x}{x^2+1} \]

咕咕咕