《电路基础》第八章学习笔记

本章学习二阶电路，典型是RLC电路。电路中包含三种无源元件（两种储能元件）。可以用二阶微分方程表征其特性。

初值与终值的确定
- 关键点：
  - 分析电路时，必须始终仔细地处理电容器两端电压v(t)的极性以及流过电感器电流i(t) 的方向，v与i必须严格按照无源符号规约予以定义。
  - 电容两端的电压总是连续的
    
    \[v(0^+)=v(0^-) \]
  - 流过电感的电流总是连续的
    
    \[i(0^+)=i(0^-) \]
  - 电容和电感是破局关键。分析的时候从这两个下手更简明。
无源激励RLC串联电路
- 对上图运用KVL，得到：
  
  \[Ri+L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t } +\frac{1}{C}\int_{-\infty}^{t} i\mathrm{d}t =0 \]
  对这个式子中的 t 求导：
  
  \[\frac{\mathrm{d^2}i }{\mathrm{d}t^2 }+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}i }{\mathrm{d}t }+\frac{i}{LC}=0 \]
  这是一个二阶微分方程。
  
  初值带入后化简运算，进一步得到：
  
  \[s^2+\frac{R}{L}s+\frac{1}{LC}=0 \]
  这是一个一元二次方程，我们可以通过求根公式求出解的答案。
- 两个根的更简洁的表达式可以写成：
  
  \[s_{1}=-\alpha +\sqrt{\alpha ^2-\omega _{0}^2} ,s_{2}=-\alpha -\sqrt{\alpha ^2-\omega _{0}^2} \]
  其中，
  
  \[\alpha =\frac{R}{2L},\omega _{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}} \]
  - 特征根 \(s_{1}\) 和 \(s_{2}\) 与电路的自然相应有关，称为自然频率
  - \(\omega_{0}\) 称为振荡频率/无阻尼自然频率
  - \(\alpha\) 称为奈培频率/阻尼因子
  - 上面的一元二次方程可以简写为：
    
    \[s^2+2\alpha s+\omega _{0}^2=0 \]
    这样就简单舒服多了！
- 解的三种情况：
  - 过阻尼（\(\alpha>\omega_{0}\)）
    
    \[i(t)=A_{1}e^{s_{1}t}+A_{2}e^{s_{2}t} \]
  - 临界阻尼（\(\alpha=\omega_{0}\)）
    
    \[i(t)=(A_{2}+A_{1}t)e^{-\alpha t} \]
  - 欠阻尼（\(\alpha<\omega_{0}\)）
    
    \[i(t)=e^{-\alpha t}(B_{1}cos\omega_{d}t+B_{2}sin\omega_{d} t) \]
- RLC网络的性质：
  - 特征：阻尼衰减
  - 由于两类储能元件的存在，振荡响应成为可能（LC振荡电路）
  - 不同情况下响应的波形是不同的。
无源激励RLC并联电路
- 对上图顶点KCL之后化简可得：
  
  \[s^2+\frac{1}{RC}s+\frac{1}{LC}=0 \]
  剩下的同上面串联电路进行分析，就不过多展开了。
RLC串联电路的阶跃响应
- 对这个电路使用KVL，化简之后得到：
  
  \[\frac{\mathrm{d^2}v }{\mathrm{d}t^2 }+\frac{R}{L}\frac{\mathrm{d}v }{\mathrm{d}t }+\frac{v}{LC}=\frac{V_{s}}{LC} \]
- 上式的解包含：瞬态响应与稳态响应
  
  \[v(t)= v_{1}(t)+v_{ss}(t) \]
  所以过阻尼，欠阻尼，临界阻尼的全解：在 \(A_{1},A_{2}\) 的表达式中加入 \(V_{s}\)
RLC并联电路的阶跃响应
- 对顶部节点使用KCL得到：
  
  \[\frac{\mathrm{d^2}i }{\mathrm{d}t^2 }+\frac{1}{RL}\frac{\mathrm{d}i }{\mathrm{d}t }+\frac{i}{LC}=\frac{I_{s}}{LC} \]
  上式的解包含：瞬态响应与稳态响应
  
  \[x(t)= x_{1}(t)+x_{ss}(t) \]
  所以过阻尼，欠阻尼，临界阻尼的全解：在 \(A_{1},A_{2}\) 的表达式中加入 \(I_{s}\)
一般二阶电路
- 分析方法：（重要）😄
  - 确定电路的初始条件以及终值
  - 关闭独立源，用KCL和KVL求解瞬态响应 \(x_{1}(t)\) 。得到二阶微分方程就可以求出特征根。
  - 电路的稳态响应为：
    
    \[x_{ss}(t)=x(\infty) \]
  - 电路的全响应即瞬态响应与稳态响应之和。
对偶原理（互换关系）
- 内容：
  
  对偶原理指出了电路的特征方程与电路原理之间存在的对偶关系。
  
  如果两个电路能够用对偶量可相互交换的相同的特征方程来描述，则称这两个电路时互为对偶的。
- 有效性：
  
  只要求出一个电路的解，就可以自动推出其对偶电路的解。
- 如何得到一个电路的对偶电路：
  1. 在给定电路的各网孔中心设置一个节点，在该给定电路之外设置对偶电路的参考节点（GND）
  2. 在节点之间画线，使每条线通过一个元件，并将该元件用其对偶元件取代。
  3. 对于引起正的（顺时针方向）网孔电流的电压源而言，其对偶电流源的参考方向为地节点流向非参考节点。