《电路基础》第六章学习笔记

本章我们将学习电容和电感电路。

电容器
- 构成：
  
  电容器由被绝缘体（电介质）隔开的两个导电金属极板组成
- 高中知识：
  
  \[q=Cv \]
  \[C= \frac{\varepsilon A}{d} \]
  其中A为各个极板的表面积，d为两极板之间的距离。\(\varepsilon\) 为介电常数。
- 常见的可变电容器
  
  为了得到电容器的电流——电压关系，我们通过微分得到：
  
  \[i=C\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t } \]
  两边取微分，得到：
  
  \[v=\frac{1}{C}\int_{t_{0}}^{t} i\mathrm{d}t+v(t_{0}) \]
- 电容器的性质：
  - 对直流电而言是开路的
  - 电压不能突变，必须是连续的
  - 理想电容器不消耗能量
  - 实际的非理想电容器包括一个并联的泄露电阻，阻值高达100MΩ，对绝大多数实际应用而言是可以忽略不计的。
- 电容器的串联与并联
  
  我们可以用一个等效电容 \(C_{eq}\) 取代若干个电容的串联或并联。
  - N个并联连接的电容器的等效电容等于各电容器的电容之和
    
    证明过程：
    
    \[i=(\sum_{k=1}^{N}C_{k})\frac{\mathrm{d}v}{{d}t}=C_{eq}\frac{\mathrm{d}v}{{d}t} \]
    所以：
    
    \[C_{eq}=C_{1}+C_{2}+C_{3}+\dots+C_{N} \]
  - 串联电容器的等效电容等于各个电容器电容倒数之和的倒数
    
    （咦，这不就是鸡在河上飞哈哈哈哈）
    
    总结：电容的串并联刚好与电阻相反。
    
    \[C_{eq}=\frac{C_{1}C_{2}}{C_{1}+C_{2}} \]
电感
- 构成：
  
  电感器由导线线圈组成
- 定义：
  
  \[v=L\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} \]
  其中L为比例常数，称为电感，单位是亨利（H）
  
  电感反映的是电感器阻碍流经它的电流变化的属性
- 电感器两端要有电压，其电流必须随时间而变化。
  
  对于螺线管线圈电感器，其电感量为：
  
  \[L=\frac{N^2\mu A}{\ell} \]
  其中N为线圈匝数，\(\ell\) 为螺线管的长度，A为横截面积，\(\mu\) 为磁芯的导磁率。
- 不同类别的电感和电路符号
- 电流表达式
  
  \[i=\frac{1}{L}\int_{t_{0}}^{t}v(t) \mathrm{d}t +i{t_{0}} \]
  存储的能量为：
  
  \[w=\frac{1}{2}Li^2 \]
- 特性：
  - 电感器对直流电而言是短路的（电容是开路）
  - 流经电感器的电流是不能突变的。
    - 电感器两端的电压是可以突变的
  - 理想电感也不消耗能量
  - 实际的非理想电感包含一个非常重要的电阻，与电感串联，还存在一个匝间绕线电容。除高频情况外，\(C_{q}\) 通常很小，在大多数情况下可以忽略不计。
积分器
- 定义：
  
  积分器是一种输出信号与输入信号的积分呈正比的运放电路。
  
  在施加输入信号之前，必须先对积分器的电容器放电，使 \(v_{o}\)(0)=0 ,则有：
  
  \[v_{o}=-\frac{1}{RC} \int_{0}^{t} v_{i}(t)\mathrm{d}t \]
微分器
- 定义：
  
  一种输出信号与输入信号的变化率呈正比的运放电路。
  
  如图，应用KCL可以得到：
  
  \[v_{o}=-RC\frac{\mathrm{d}v_{i} }{\mathrm{d}t } \]