FFT&NTT&FWT

高二了还不会 \(FFT\) ?
\(Fast Fourier Transform(FFT)\) 在 oi 中的主要作用是用来求“卷积”（多项式乘法）。
可将时间复杂度降为 \(O(n \log_2n)\)

3步快速求出多项式乘积：

1. 由系数表示法转换成点值表示法。
2. 求两个多项式的乘积。
3. 将点值表示法转换成系数表示法。

假设A的点值表达式为\({(x_0,y_0),(x_1,y_1),(x_2,y_2)...}\)
假设B的点值表达式为\({(x_0,y_0^1),(x_1,y_1^1),(x_2,y_2^1)...}\)
那么C的点值表达式为\({(x_0,y_0y_0^1),(x_1,y_1y_1^1),(x_2,y_2y_2^1)...}\)

接下来分析1.
将一个 \(n\) 次项的多项式分成奇函数，偶函数两个部分。

接下来考虑如何选点获得点值。
对于一个奇函数，求出一组 \((x,y)\) 的值，同时可得到 \((-x,-y)\)
对于一个偶函数，求出一组 \((x,y)\) 的值，同时可得到 \((-x,y)\)
所以我们可以通过函数的性质，求出一个点的坐标就能得到两个点的坐标。一个 \(d\) 阶的多项式需要 \(d+1\) 个点，所以只需要求 \(d/2\) 次点即可。

将原多项式转化为两个子问题递归求解，于是时间复杂度降到 \(log\) 级别。

但是，真的如此吗？
注意到对于每个求值点对应的坐标都为平方数，所以都是正的，上述关于正负推出的递归显然不成立。
有点伤心。
那找到平方为负数的数是不是问题就解决了？

好。复数上场。

考虑复数的三角恒等变换。开始推。
\(n\) 次单位复数根是满足 $ \omega^n=1$ 的复数 \(\omega\)
注意到 \(k\) 阶单位复数根即为\(\omega_k^1\)
由折半定理，得到：如果 \(n\) 是大于 0 的偶数，那么 \(n\) 的 \(n\) 个单位复数根的平方的集合就是 \(n/2\) 的 \(n/2\) 个单位复数根的平方的集合。
注意到，由折半定理我们发现前半部分的值和后半部分的值相同，这样问题就被分成两个子问题，再对这两个子问题进行递归求解即可。
这样2.完成。
那么对于3.就很简单，通过矩阵乘法，将点值转化为系数只需要将点值表达式再做一遍FFT，最后每项除以长度即可。