整数划分相关

整数划分的核心思想

1. 问题本质

把整数 \(m\) 分成 \(n\) 个数，顺序无关。比如把 5 分成 2 个数：

• \(1+4\)、\(2+3\) 算两种不同方案
• 但 \(1+4\) 和 \(4+1\) 算同一种方案

2. 如何避免重复计数？

既然顺序无关，我们就强制规定一个顺序，比如非递减：

\[a_1 \le a_2 \le \dots \le a_n \]

这样 \(1+4\) 合法，\(4+1\) 非法，从根本上杜绝了重复。

3. 两个“基本操作”

假设我们已经有了一个合法的非递减序列，怎么“生成”更多的序列？反过来，怎么“拆解”一个序列？

操作 A：在序列最前面加一个 1

[3, 5]  ->  [1, 3, 5]

这对应“原序列的第一项是 1”的情况。

操作 B：给所有数都加一个常数 k

[3, 5]  ->  [5, 7]   (k=2)

这对应“原序列的第一项 > 1”的情况（如果第一项是 1，没法全体加 k 还保持非递减的“第一项是 1”这个特征，因为 \(1+k \ne 1\)）。

关键点：这两个操作是互逆的，而且能覆盖所有情况。任何非递减序列，要么第一项是 1（用操作 A 拆），要么第一项 > 1（用操作 B 拆）。

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这里补充一下什么是“可重复”，“可重复”说的是划分结果中，同一个数字可以出现多次，也可以理解为“每个数字的使用次数不限”。

我们看下面的例子：

划分目标	可重复	不可重复
\(6\) 分成 \(3\) 个数	\(1+1+4\)，\(1+2+3\)，\(2+2+2\)（\(3\) 种）	\(1+2+3\)（\(1\) 种）
\(8\) 分成 \(2\) 个数	\(1+7\)，\(2+6\)，\(3+5\)，\(4+4\)（\(4\) 种）	\(1+7\)，\(2+6\)，\(3+5\)（\(3\) 种，\(4+4\) 不合法）

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六种情况

情况 1.1：可重复，无上限

问题：把 \(m\) 分成 \(n\) 个正整数，可重复。

状态：\(f[i][j]\) = 把 \(j\) 分成 \(i\) 个正整数的方案数（非递减）。

推导：

对一个合法序列 \(a_1 \le a_2 \le \dots \le a_i\)，和为 \(j\)：

我们有两种操作方式：

1. 在一个合法序列前面插入一个 \(1\)，序列长度变为 \(i+1\)，总和变成 \(j+1\)，所以 \(f[i+1][j+1]+=f[i][j]\)，也就是 \(f[i][j]+=f[i-1][j-1]\)。
2. 将一个合法序列里的每一项加上 \(1\)，序列长度还是 \(i\)，总和变成 \(j+i\)，所以 \(f[i][j+i]+=f[i][j]\)，也就是 \(f[i][j]+=f[i][j-i]\)。

递推式：

\[f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i][j-i] \]

边界：\(f[0][0] = 1\)。

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情况 1.2：不可重复，无上限

问题：把 \(j\) 分成 \(i\) 个互不相同的正整数。

状态：\(f[i][j]\) 依然是非递减序列（但由于不可重复，实际上是严格递增 \(a_1 < a_2 < \dots < a_i\)）。

1. 整体加 1：
   \(f[i][j+i] += f[i][j]\) （也就是 \(f[i][j] += f[i][j-i]\)）。

2. 整体加 1，再在开头添一个 1：
   不难发现，这是依然可以保持严格递增的。

   \(f[i+1][j+i+1] += f[i][j]\)，反推得 \(f[i][j] += f[i-1][j-i]\)。

递推式：

\[f[i][j] = f[i-1][j-i] + f[i][j-i] \]

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情况 2.1：可重复，全奇数

问题：把 \(j\) 分成 \(i\) 个奇数，可重复。
状态：\(f[i][j]\) 是非递减的奇数序列（如 \([1, 1, 3, 5]\)）。

推导：

如果手里是奇数，怎么保持奇数？

1. 在前面加一个 1：
   所以：\(f[i+1][j+1] += f[i][j]\)，也就是 \(f[i][j] += f[i-1][j-1]\)。

2. 整体加 2：
   所以：\(f[i][j+2i] += f[i][j]\)，也就是 \(f[i][j] += f[i][j-2i]\)。

递推式：

\[f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i][j-2i] \]

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情况 2.2：不可重复，全奇数 （重点看这里，印证你的理解）

问题：把 \(j\) 分成 \(i\) 个互不相同的奇数。
状态：\(f[i][j]\) 是严格递增的奇数序列（如 \([1, 3, 7]\)）。

推导：

手里是严格递增的奇数序列，怎么长大？

1. 整体加 2：
   所以：\(f[i][j+2i] += f[i][j]\)，也就是 \(f[i][j] += f[i][j-2i]\)。

2. 整体加 2，再在开头添一个 1：
   所以：\(f[i+1][j+2i+1] += f[i][j]\)，也就是 \(f[i][j] += f[i-1][j-2i+1]\)。

递推式：

\[f[i][j] = f[i-1][j-2i+1] + f[i][j-2i] \]

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3.1：可重复，每个数 < \(x\)

推导：

从 1.1 的“加操作”出发

1.1 的递推式：

\[f[i][j] = f[i-1][j-1] + f[i][j-i] \]

对应的两种“生成”操作：

操作	效果	对状态的影响
前面加 1	序列长度 +1，总和 +1	\(f[i-1][j-1] \rightarrow f[i][j]\)
全体加 1	长度不变，总和 +i	\(f[i][j-i] \rightarrow f[i][j]\)

现在加上限制：每个数都 \(< x\)。

我们需要分别检查这两种操作会不会产生非法序列。

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• 第一种操作：前面加 1

从合法序列 \(f[i-1][j-1]\) 出发，在最前面插入一个 1：

\[[1, a_1, a_2, \dots, a_{i-1}] \]

会不会产生非法？

• 新加入的数是 1，而 \(1 < x\) 恒成立
• 剩下的 \(i-1\) 个数本来就是合法的（都 \(< x\)）

所以这条路径永远安全，不需要任何减法。

第一项仍然是：

\[f[i-1][j-1] \]

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• 第二种操作：全体加 1

从合法序列 \(f[i][j-i]\) 出发，对所有数都加 1：

\[[a_1+1, a_2+1, \dots, a_i+1] \]

什么时候会出问题？

• 合法状态下，每个数都 \(< x\)，即最大只能是 \(x-1\)
• 全体加 1 之后，如果某个数原本是 \(x-1\)，加完就变成了 \(x\)
• 而 \(x\) 是不允许的（要求 \(< x\)）

所以问题出在：\(f[i][j-i]\) 里包含了 \(x-1\) 的方案。

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关键：从 \(f[i][j-i]\) 中剔除含 \(x-1\) 的方案

假设 \(f[i][j-i]\) 中有一个合法序列：

\[a_1 \le a_2 \le \dots \le a_i \]

其中恰好某个位置上的数是 \(x-1\)。

我们把这个 \(x-1\) 从序列中删掉：

• 剩下的数有 \(i-1\) 个
• 因为原序列是非递减的，删掉一个数后仍然非递减
• 所有剩下的数仍然都 \(< x\)（因为它们本来就都 \(\le x-1\)，删掉的只是其中一个 \(x-1\)，剩下的依然 \(\le x-1\)）

剩下的序列的和是多少？

原来的和是 \(j-i\)，删掉的数是 \(x-1\)，所以：

\[(j-i) - (x-1) = j - i - x + 1 = j - x - i + 1 \]

因此，含 \(x-1\) 的方案数和以下状态一一对应：

\[f[i-1][j-x-i+1] \]

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正确的递推式

把三种情况拼起来：

\[f[i][j] = \underbrace{f[i-1][j-1]}_{\text{前面加 1}} + \underbrace{f[i][j-i]}_{\text{全体加 1}} - \underbrace{f[i-1][j-x-i+1]}_{\text{扣掉全体加 1 产生的非法方案}} \]

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3.2：不可重复，每个数 < \(x\)

推导：

从 1.2（不可重复，无上限）的递推式出发：

\[f[i][j] = f[i-1][j-i] + f[i][j-i] \]

这里两个分支都可能产生非法序列。非法序列长什么样？

• 因为所有数都要 \(< x\)，非法序列只有一个可能：其中恰好有一个数等于 \(x\)。
• 为什么不可能有更多问题？因为基础递推只能生成从合法状态通过“全体 +1”得到的序列，而合法状态中最大值为 \(x-1\)，加 1 后最大值为 \(x\)，不会超过 \(x\)。
• 又因为“不可重复”，序列中不可能出现两个 \(x\)（出现了就重复了）。

所以，非法序列的结构必然是：

恰好有一个数等于 \(x\)，其余 \(i-1\) 个数都 \(< x\) 且互不相同。

关键一步：去掉那个非法的 \(x\)

把非法序列中的那个 \(x\) 删掉，剩下的 \(i-1\) 个数：

• 互不相同
• 每个数都 \(< x\)
• 总和为 \(j - x\)

这恰好就是一个合法的 \(f[i-1][j-x]\) 的划分！

反过来，任意一个 \(f[i-1][j-x]\) 的合法划分，在末尾（或正确的位置）添上一个 \(x\)，就得到一个非法序列。

因此：

非法方案数 = \(f[i-1][j-x]\)

所以递推式减去它即可：

\[f[i][j] = f[i-1][j-i] + f[i][j-i] - f[i-1][j-x] \]