虚树

原理

虚树是一种特殊的树形数据结构，主要用于解决一类特殊的树上的动态规划或查询问题。

它的核心思想是：在一棵庞大的树中，只保留“关键点”及其两两之间的最近公共祖先，将这些点按照原树的祖先关系连接成一棵新的树。这棵树保留了原树中关键节点之间的相对结构，但节点数量被压缩到了 \(O(k)\) 级别（其中 \(k\) 是关键点数量），从而大幅降低时间复杂度。

为什么要用虚树？
在算法竞赛或复杂系统设计中，我们常遇到如下问题：

给出一棵包含 \(n\) 个节点的树（\(n\) 可能很大，如 \(10^5\)）。

有 \(q\) 次询问，每次询问给出若干个关键点（总关键点数量 \(\sum k\) 与 \(n\) 同阶）。

每次询问需要只针对这些关键点（或者它们之间的关系）做树形 DP，比如求最短路、最小割、连通块代价等。

每次询问根据给定的 \(k\) 个关键点构建一棵大小为 \(O(k)\) 的虚树，然后在虚树上跑 DP。复杂度为 \(O(\sum k \log k)\) 或 \(O(\sum k)\)。

举个例子：蓝色的是询问点。红色点就会在虚树上。

图来自：https://www.cnblogs.com/zzqsblog/p/5560645.html 。

构建过程（单调栈法）

1. 我们先做一次 DFS，求出每个点的 dfn 和 dep，以及预处理使其具备 LCA 查询能力。
2. 然后将给定的关键点数组 \(a\) 按 dfn 排序。
3. 遍历排序后的关键点，计算相邻关键点的 LCA，将这些 LCA 也加入数组。

我们来稍微证明一下为什么只加 相邻关键点的 LCA 就可以覆盖任意两点的 LCA：

对于任意两个节点 \(u\) 和 \(v\)（假设 \(dfn[u] < dfn[v]\)），它们要么是祖先-后代关系（\(u\) 是 \(v\) 的祖先），要么分属不同的子树。

设三个节点按 DFS 序排列为 \(a, b, c\)，即 \(dfn[a] < dfn[b] < dfn[c]\)。

令 \(z = LCA(a, c)\)。我们需要证明：

\[z = LCA(LCA(a, b), LCA(b, c)) \]

因为 \(z\) 是 \(a\) 和 \(c\) 的 LCA，所以 \(z\) 的子树在 DFS 序上是一个连续的区间，并且这个区间同时包含了 \(a\) 和 \(c\)。

由于 \(dfn[a] < dfn[b] < dfn[c]\)，
\(b\) 位于 \(a\) 和 \(c\) 之间，因此 \(b\) 一定也落在这个区间内。所以：

\(b\) 也在 \(z\) 的子树内。

在 \(z\) 的子树中，
\(a\) 和 \(c\) 必然位于 \(z\) 的不同孩子分支。

现在看 \(b\) 的位置，它只有三种可能：

情况 1：

\(b\) 在 \(a\) 所在的那个分支里
此时 \(b\) 和 \(a\) 在同一分支，它们的 LCA 位于这个分支内，记作 \(x = LCA(a, b)\)。

因为 \(x\) 在 \(a\) 的分支内，而 \(z\) 是这个分支的祖先，所以 \(z\) 是 \(x\) 的祖先。

同时，
\(b\) 在 \(a\) 分支，\(c\) 在另一个分支，所以 \(b\) 和 \(c\) 的 LCA 就是 \(z\)，即 \(LCA(b, c) = z\)。

于是：

\[LCA(LCA(a, b), LCA(b, c)) = LCA(x, z) = z \]

因为 \(z\) 是 \(x\) 的祖先，所以它们的 LCA 就是 \(z\)。成立。

情况 2：

\(b\) 在 \(c\) 所在的那个分支里
完全对称：
\(LCA(b, c)\) 是 \(z\) 的后代，而 \(LCA(a, b) = z\)，所以结论同样成立。

情况 3：

\(b\) 在 \(z\) 的第三个分支里（既不在 \(a\) 分支，也不在 \(c\) 分支）

那么 \(a\) 和 \(b\) 在 \(z\) 的不同分支，所以 \(LCA(a, b) = z\)。

同理 \(b\) 和 \(c\) 也在 \(z\) 的不同分支，所以 \(LCA(b, c) = z\)。

于是 \(LCA(z, z) = z\)，显然成立。

4. 如果我们发现栈顶元素 \(top\) 与我们想要加入的元素 \(x\) 的 LCA 为 \(top\)，那说明 \(x\) 的父亲为 \(top\)，与 \(top\) 在一条链上，我们直接把 \(x\) 加入栈。否则我们一直退栈（在退栈过程中顺便连一下边），一直推到 \(LCA(top,x)=top\)（也就是栈顶元素是 \(x\) 的父亲，他们在一条链上）或者栈里仅剩下一个元素为止，然后再入栈即可。最后别忘了把还没空的栈给清空。

for(int i=1;i<=m;i++) cin>>key[i];
sort(key+1,key+1+m,cmp);
int len=m;
for(int i=1;i<m;i++) key[++len]=lca(key[i],key[i+1]);
sort(key+1,key+1+len,cmp);
len=unique(key+1,key+1+len)-key-1;
tp=0;
st[++tp]=1;
for(int i=2;i<=len;i++) {
    while(lca(key[st[tp]],key[i])!=key[st[tp]]) tp--;
    to[st[tp]].push_back(i),st[++tp]=i;
}