2-SAT 总结

2-SAT 问题详解

2-SAT 的典型形式

每个约束条件长这样：

(x₁ 为真) 或 (x₂ 为假)
(x₃ 为真) 或 (x₄ 为真)
(变量a = 某值) 或 (变量b = 某值)

用逻辑符号表示就是：(a ∨ b) 或者 (a ∨ ¬b) 等等。

核心思想：转化为图论问题

第一步：建立蕴含图

关键公式：(a ∨ b) 等价于 (¬a → b) ∧ (¬b → a)

意思是：如果 a 为假，那么 b 必须为真；如果 b 为假，那么 a 必须为真。

直觉理解：约束 (a ∨ b) 说“a 和 b 至少一个为真”。那如果我发现 a 是假的，为了满足这个约束，b 就必须是真的。反过来也一样。

第二步：图的构建

• 每个变量 x 拆成两个点：x 表示 x 为真，¬x 表示 x 为假
• 对于约束 (a ∨ b)，添加两条有向边：
  • ¬a → b（a 假则 b 真）
  • ¬b → a（b 假则 a 真）

为什么不是

• ¬a → b（a 假则 b 真）
• a → ¬b（a 真则 b 假）

呢？因为其实可以 a 和 b 都是真，这样建图会导致 a 和 b 必然一正一负，显然不符。

当然，我们也可以简单建图，背下来即可：

adde(x+n*(vx&1),y+n*(vy^1));
adde(y+n*(vy&1),x+n*(vx^1));

第三步：判断可满足性

如果存在变量 x，使得 x 和 ¬x 在同一个强连通分量（SCC）中，那么问题无解。

为什么？ 因为在 SCC 中，所有点可以互相到达。x 能到达 ¬x 意味着“x 为真能推出 x 为假”，反之亦然。这产生了逻辑矛盾：x 真 ⇒ x 假，同时 x 假 ⇒ x 真。无论 x 取什么值都会导出相反的要求，所以不可能满足。

第四步：构造解

如果可满足，按照 SCC 的拓扑序（从后往前）赋值：如果 x 所在 SCC 的拓扑序在 ¬x 之后，则 x 为真，否则为假。

为什么这样赋值正确？ 一条边 u → v 的逻辑含义是“u 真则 v 真”。在拓扑序中，边总是从序号小的 SCC 指向序号大的 SCC。如果我们按拓扑序从大到小（后往前）处理，先决定的点不会依赖后决定的点。当我们处理 x 时，如果 x 的拓扑序比 ¬x 大，说明 ¬x → x 的路径不存在（否则它们会在同一 SCC，或者 ¬x 的拓扑序更大），那我们把 x 设为真就不会被迫把 ¬x 也设为真，从而避免矛盾。

不会证明也没有关系，试一试就行。

一个简单的验证：

3 2
1 1 3 0
1 1 3 1

第一位应该是 1。

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#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
ll n,m,tot;
ll dfn[2000005],low[2000005],st[2000005],tail,in[2000005],scccnt,id[2000005];
vector<ll>ve[2000005];
void tarjan(ll x){
    dfn[x]=low[x]=++tot;
    st[++tail]=x;
    in[x]=1;
    for(int v:ve[x]){
        if(!dfn[v]){
            tarjan(v);
            low[x]=min(low[x],low[v]);
        }
        else if(in[v]){
            low[x]=min(low[x],dfn[v]);
        }
    }
    if(dfn[x]==low[x]){
        scccnt++;
        ll y;
        do{
            y=st[tail];
            tail--;
            in[y]=0;
            id[y]=scccnt;
        }while(y!=x);
    }
}
void adde(ll x,ll y){
    ve[x].push_back(y);
}
int main(){
    cin>>n>>m;
    ll x,vx,y,vy;
    for(int i=1;i<=m;i++){
        cin>>x>>vx>>y>>vy;
        adde(x+n*(vx&1),y+n*(vy^1));
        adde(y+n*(vy&1),x+n*(vx^1));
    }
    for(int i=1;i<=n*2;i++){
        if(!dfn[i]){
            tarjan(i);
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(id[i]==id[i+n]){
            cout<<"IMPOSSIBLE";
            return 0;
        }
    }
    cout<<"POSSIBLE\n";
    for(int i=1;i<=n;i++){
        if(id[i]<id[i+n]){
            cout<<1<<" ";
        }
        else{
            cout<<0<<" ";
        }
    }
}