DSU ON TREE

DSU ON TREE,在处理一些可以离线的有关于子树的询问问题时，使用其可以将复杂度从 \(O(nm)\) 降至 \(O(n\log n)\)，是一种非常实用的方法。

它的思想大概是，先尽量往轻儿子跳，统计。如果是轻儿子则遍历完子树后消除影响，若是重儿子则保留。然后暴力统计轻儿子。

看起来很抽象，我们结合下图模拟一下就很容易懂了(我们只探究点2及其子树)：

遍历过程如下：
我们设 dfs 当前遍历到的点为 \(x\)。

x:1->2->5，因为 5 的儿子遍历完了，所以统计 5 的答案，此时 ans={5}，为子树 5 的答案
x:5->2，消除 5 及子树的影响，此时 ans={}
x:2->6->12，因为 12 的儿子遍历完了，所以统计 12 的答案，此时 ans={12}，为子树 12 的答案
x:12->6，消除 12 及子树的影响，此时 ans={}
x:6->11，统计 11 的答案，此时 ans={11}，为子树 11 的答案
x:11->6，因为 6 的儿子遍历完了，所以统计 6 的答案，因为 11 为重儿子，所以保留，此时 ans={6,11}，暴力统计轻儿子 12 及其子树，此时 ans={6,11,12}，为子树 6 的答案
x:6->2，因为 2 的儿子遍历完了，所以统计 2 的答案，因为 6 为重儿子，所以保留，此时 ans={2,6,11,12}，暴力统计轻儿子 5 及其子树，此时 ans={2,5,6,11,12}，为子树 2 的答案
...

为什么是 \(O(n \log n)\)？
考虑任意一个节点 \(v\)，它会被"暴力插入/删除"几次。
只有当 \(v\) 处于某个祖先的轻儿子子树中时，它才会在那个祖先的"重新加入轻儿子"步骤被遍历。
每次 \(v\) 沿着轻边向上走，所在子树的大小至少翻倍。所以，从 \(v\) 到根的路径上，最多有 \(O(\log n)\) 条轻边。因此，
\(v\) 最多被暴力处理 \(O(\log n)\) 次。
\(n\) 个节点总复杂度就是 \(O(n \log n)\)。