博弈论入门指北
普通 NIM 游戏
游戏规则
- 初始状态：有若干堆石子，每堆石子的数量任意。例如：三堆石子，数量分别为 3, 4, 5。
- 玩家：两名玩家，轮流行动。
- 合法操作：选择其中一堆，从中取走任意数量的石子（至少取 1 颗，最多可以取完这一整堆）。
- 胜负判定：取走最后一颗石子的人获胜。
必败与必胜的数学本质
尼姆游戏是一个无偏博弈，意味着双方可执行的操作集合完全相同。
根据斯普莱格-格隆迪定理，它的局面可以用一个特定的数值——尼姆和 来评估。
核心概念：尼姆和
尼姆和的计算方法是：将所有堆的石子数量进行二进制异或运算（XOR，记作 ⊕）。
设各堆石子数为 \(a_1, a_2, ..., a_n\)，则尼姆和 \(S = a_1 \oplus a_2 \oplus ... \oplus a_n\)。
胜负判定法则（Bouton定理）：
- 必败局面：当且仅当尼姆和 \(S = 0\) 时，轮到的玩家必败。
- 必胜局面：当且仅当尼姆和 \(S \neq 0\) 时，轮到的玩家必胜。
必胜策略
如果当前 \(S \neq 0\)，总能找到至少一堆石子，通过取走若干石子，使得新的尼姆和变为 0，将必败局面留给对手。具体操作方法是：
- 计算当前尼姆和 \(S\)。
- 寻找某一堆石子 \(a_i\)，满足 \(a_i \oplus S < a_i\)。这样的堆一定存在。
- 将该堆的石子数从 \(a_i\) 减少到 \(a_i \oplus S\)。
- 操作后，新的尼姆和变为 \(S' = (a_i \oplus S) \oplus (\text{其余堆的异或和}) = S \oplus S = 0\)。
例子：
局面为 (3, 4, 5)。
- 计算尼姆和：3 (011) ⊕ 4 (100) ⊕ 5 (101) = 010 (即 2) ≠ 0，所以是必胜局面。
- 寻找操作：
- 对于堆 3 (011)：3 ⊕ 2 = 1 < 3。可行。将第一堆取剩 1 颗（取走 2 颗）。
- 对于堆 4 (100)：4 ⊕ 2 = 6 > 4。不可行。
- 对于堆 5 (101)：5 ⊕ 2 = 7 > 5。不可行。
- 所以唯一正确的操作是将第一堆从 3 颗变为 1 颗。新局面 (1, 4, 5) 的尼姆和：1 (001) ⊕ 4 (100) ⊕ 5 (101) = 0。将必败局面留给了对方。
证明：
假设当前局面有 \(n\) 堆石子，数量分别是 \(a_1, a_2, \dots, a_n\)。
当前尼姆和为：
我们假设 \(S \neq 0\)，所以要找一个堆 \(a_i\)，满足 \(a_i \oplus S < a_i\)，然后把它变成 \(a_i' = a_i \oplus S\)。
操作后，新局面的尼姆和是：
把第 \(i\) 堆排除在外，剩下所有堆的异或和，记为：
根据异或的定义，原来的尼姆和 \(S\) 满足：
操作后，第 \(i\) 堆变成了 \(a_i \oplus S\)，其余堆没变，所以：
异或运算满足交换律和结合律，所以括号可以重新组合：
因为
所以代入：
经过这一系列推导，我们证明了：只要按照规则选择一个合适的堆，将其石子数变为原来的 \(a_i \oplus S\)，那么操作后整个局面的尼姆和就会变成 \(0\)。
这正是在尼姆游戏中保证必胜策略的核心所在。
阶梯尼姆游戏
阶梯尼姆是普通尼姆的一种经典变体，它将石子堆排列在一个阶梯结构上，并通过改变取子规则，将其与尼姆和巧妙地联系起来。
游戏规则
- 初始状态：有 \(N\) 个阶梯（或一堆堆成阶梯状的格子），从 0 级（地面）开始，往上到第 1 级、第 2 级……直到第 \(N\) 级。每个阶梯上可以放任意数量的石子。地面上（第 0 级）的石子可以被认为是已经"出局"的，不起作用。
- 玩家：两名玩家，轮流行动。
- 合法操作：选择某一级阶梯（假设是第 \(i\) 级，\(i \ge 1\)）上的任意数量石子（至少 1 颗），将它们向下移动，放到第 \(i-1\) 级阶梯上。
- 胜负判定：通常是谁无法继续操作谁输）。这和将最后一个石子从第1级移到第0级的玩家获胜是等价的。
核心思想
这个游戏的神奇之处在于，它完全可以转化为一个经典的尼姆游戏，而转化的关键就在于奇偶性。
结论：阶梯尼姆游戏等价于一个只考虑所有"奇数级"阶梯上石子数量的普通尼姆游戏。
- 偶数级阶梯（2, 4, 6...）可以完全忽略，它们上的石子数量不影响游戏的胜负状态。
- 奇数级阶梯（1, 3, 5...）上的每一堆石子，就等同于普通尼姆游戏中的一堆石子。
为什么可以这样转化？
让我们模拟一下：
- 如果你将石子从奇数级（比如第 1 级）移到偶数级（第 0 级地面），在普通尼姆的视角里，这就相当于从奇数堆（第1级）中取走石子并丢弃。这是标准的尼姆操作。
- 如果你的对手将这些石子从偶数级（比如第 2 级）移到奇数级（第 1 级），在你（必胜方）的视角里，这相当于对手向你的尼姆游戏里增加了某堆的数量。在普通尼姆中，对手是不允许这样做的。但在阶梯尼姆中，作为必胜方的你，可以立即将这些石子从第 1 级再次移到第 0 级（丢弃），从而抵消对手的操作，将局面还原到你原本预设的必败局面。
- 这种"对称策略"保证了偶数级石子只是"延迟"了游戏进程，但不会改变由奇数级石子决定的胜负归属。只要你的策略是基于奇数级尼姆和的，你就能通过"对手移下到奇数，你就立刻把它们移下到偶数"的方式，始终将必败局面留给对手。
- 这就和普通的 NIM 游戏没有区别了。
SG 函数
核心思想
SG 函数的精髓在于两点：
- Grundy 数：每个局面都有一个 SG 值，相当于这个局面"等价于"一堆几颗石子的 Nim 堆。
- 复合博弈：多个独立子博弈的总 SG 值，等于各子博弈 SG 值的按位异或（Nim-Sum）。这被称为 Sprague-Grundy 定理。
前置概念
1. 无偏博弈
必须同时满足：
- 两个玩家可执行的操作完全相同。
- 完全信息、无随机因素。
- 正常规则下，无法行动的玩家判负。
Nim、围棋的"吃子"不是无偏的，但整盘围棋不是无偏博弈。典型的无偏博弈有：取石子、剪纸游戏、DAG上的移动游戏等。
2. P 局面与 N 局面
- P 局面：先手必败。
- N 局面：先手必胜。
一个局面是 P 局面，当且仅当它所有后继都是 N 局面；是 N 局面，当且仅当存在至少一个后继是 P 局面。
3. mex 运算
mex 是集合中未出现的最小非负整数。
例如：\(mex\{0, 1, 3\} = 2，mex\{1, 2, 3\} = 0，mex\{\} = 0\)。
SG 函数的定义
对于一个博弈局面 \(G\)，其 SG 值定义为：
递归基：终止局面（无合法操作）的后继集合为空，所以 SG 值为 mex{} = 0。这与 P 局面对应。
SG 函数的性质
-
SG = 0 ⇔ P 局面（先手必败）
-
值非 0 ⇔ N 局面（先手必胜）。
-
复合博弈求和：
若整体博弈 \(G\) 可分解为若干个独立的子博弈 \(G_1, G_2, ..., G_n\)，每步只能选一个子博弈行动，则：\[SG(G) = SG(G_1) \oplus SG(G_2) \oplus ... \oplus SG(G_n) \]
经典例子
例1：简单 Nim 堆
一堆 \(n\) 颗石子，可取 1~\(m\) 颗。
- 终止局面 0 颗：SG(0) = 0。
- \(SG(1) = mex\{ SG(0)\} = mex\{0\} = 1\)。
- \(SG(2) = mex\{SG(1), SG(0)\} = mex\{1,0\} = 2\)。
- ...
- 当可取任意颗（\(m=\infty\)）时，\(SG(n) = n\)。
这解释了"Nim 博弈中每堆石子数异或和为 0 则必败"的结论，因为 Nim 堆本身的 SG 值就是石子数。
例2：有约束的取石子
一堆 \(n\) 颗，每次可取 1、2 或 4 颗。
递推：
- \(SG(0) = 0\)
- \(SG(1) = mex\{SG(0)\} = mex\{0\} = 1\)
- \(SG(2) = mex\{SG(1), SG(0)\} = mex\{1,0\} = 2\)
- \(SG(3) = mex\{SG(2), SG(1)\} = mex\{2,1\} = 0\)
- \(SG(4) = mex\{SG(3), SG(2), SG(0)\} = mex\{0,2,0\} = 1\)
可见 SG 值循环出现：\(0,1,2,0,1,2,0,1,2...\) 周期为3。因此对于任意堆，\(SG(n) = n % 3\)。
例3：DAG 上的移动棋子
一个有向无环图，一枚棋子。玩家轮流沿有向边移动一步，无法移动者输。
每个节点的 SG 值等于其所有后继节点的 SG 值的 mex。这是 SG 函数最直接的应用。如果多枚棋子在同一个图或不同图上独立移动，则总 SG 等于各棋子所在节点 SG 值的异或。
例4：Subtraction Game（减法游戏）
给定一个允许减去的集合 \(S\)，一堆 n 个物品。\(SG(n) = mex\{ SG(n - s) | s ∈ S, n ≥ s \}\)。这种游戏常用于生成周期性 SG 序列，可利用周期性优化计算。
浙公网安备 33010602011771号