口胡数论

最大公约数

性质

\[gcd(a,b)=gcd(b,a\%b) \]

\[gcd(a,b)=gcd(a-b,b) \]

\[gcd(a⋅c,b⋅c)=c⋅gcd(a,b) \]

求法

__gcd(a,b)或运用性质一模拟。

ExGCD

求解如 $ax+by=gcd(a,b)$ 一类的不定方程。

裴蜀定理

对于任意非零整数 $a,b，ax+by=c$ 有整数解当且仅当 $c∣gcd(a,b)$。

不定方程求解

由 $gcd(a,b)=gcd(b,a\%b)$ 得：

\[ax+by=bx'+(a\%b)y' \]

\[=bx'+(a-b\lfloor \frac{a}{b}\rfloor)y' \]

\[=ay'+b(x'-y'\lfloor \frac{a}{b} \rfloor) \]

转移到最后，发现 $b=0$,所以 $ax=gcd(a,b)=a,x=1$ 。

把 $x=1,y=0$ 这一组特殊解（因为 $y$ 不一定要选0）转移回去。

递归式为 $x=y',y=x'-y'\lfloor \frac{a}{b} \rfloor$。这样就可以得到一组特殊解了。

void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y){
	if(b==0){
		x=1,y=0;//一组特殊解
		return; 
	}
	exgcd(b,a%b,x,y);
	ll ls=x;
	x=y,y=ls-y*(a/b);
}

那有时候有一组解肯定不够，为了推广到所有解，我们有以下的式子：

令 $d=gcd(a,b)$:

\[x=x_0+\frac{b}{d}*k \]

\[y=y_0-\frac{a}{d}*k \]

代入原方程 $( ax + by = d )$ 验证。

代入后：

\[a \left( x_0 + \frac{b}{d} k \right) + b \left( y_0 - \frac{a}{d} k \right) = a x_0 + \frac{a b}{d} k + b y_0 - \frac{a b}{d} k \]

\[= a x_0 + b y_0 + \left( \frac{ab}{d} - \frac{ab}{d} \right) k \]

\[= a x_0 + b y_0 = d \]

所以得证。

欧拉函数

定义

$φ(n)$ 意为 $[1,n]$ 中与$n$ 互质的数的数量。
因式分解，$n=p_1^{c_1},p_2^{c_2},p_3^{c_3}...p_m^{c_m}$,则

\[φ(n)=n(1-\frac{1}{p_1})(1-\frac{1}{p_2})(1-\frac{1}{p_3})...(1-\frac{1}{p_m}) \]

可以化一下式子：

\[\varphi(n) = n \cdot \frac{p_1 - 1}{p_1} \cdot \frac{p_2 - 1}{p_2} \cdots \frac{p_m - 1}{p_m} \]

这就是一个 $O(\sqrt n)$ 求单个欧拉函数的方法。

ll phi(ll x){
	ll res=x;
	for(int i=2;i*i<=x;i++){
		if(x%i==0){
			res=res/i*(i-1);
			while(1){
				if(x%i!=0){
					break;
				}
				x/=i;
			}
		}
	}
	if(x!=1){
		res=res/x*(x-1);
	}
	return res;
}

性质

若 $p$ 为质数，则 $φ(p)=p-1$。
若 $a,b$ 互质，则$φ(ab)=φ(a)*φ(b)$，所以欧拉函数是积性函数。
$\sum_{d|n}φ(d)=n$。
对于 $n>1$，$[1,n]$ 中与 $n$ 互质的数的和为 $\frac{1}{2}n*φ(n)$。
若 $n=p^k$，并且 $p$ 为质数，则 $φ(n)=p^k-p^{k-1}$。

筛法

运用第二条性质，可以 $O(n)$ 处理 $[1,n]$ 之间的欧拉函数值。

欧拉定理

若 $ a $ 与 $ m $ 互素（即 $ \gcd(a, m) = 1 $），则：

\[a^{\varphi(m)} \equiv 1 \pmod{m} \]

由此可得：

\[a^b \equiv a^{b \bmod \varphi(m)} \pmod{m} \quad \text{当 } b \geq \varphi(m) \]

但这个结论仅在 $ \gcd(a, m) = 1 $ 时成立。

扩展欧拉定理

扩展欧拉定理放宽了互素条件，适用于任意整数 $ a $ 和 $ m $，只要 $ a > 0, m > 0 $。

定理内容：

对于任意整数 $ a, m $ 满足 $ a > 0, m > 0 $，有：

\[a^b \equiv \begin{cases} a^{b \bmod \varphi(m)} & \text{若 } b < \varphi(m) \\ a^{b \bmod \varphi(m) + \varphi(m)} & \text{若 } b \geq \varphi(m) \end{cases} \pmod{m} \]

//a^b%m
ll po(ll x,ll y){
    ll ans=1;
    while(y){
        if(y&1){
            ans=ans*x%m;
        }
        x=x*x%m;
        y/=2;
    }
    return ans;
}
ll phi(ll x){
    ll ls=x;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            ls=ls/i*(i-1);
            while(1){
                if(x%i!=0){
                    break;
                }
                x/=i;
            }
        }
    }
    if(x!=1){
        ls=ls/x*(x-1);
    }
    return ls;
}
ll read(){
	ll x=0;
	bool re=0;
	char c=getchar();
	while(c<'0'||c>'9') c=getchar();
	while(c>='0'&&c<='9'){
		x=(x<<3)+(x<<1)+(c-'0');
		if(x>=ls){
			x%=ls;
			re=1;
		}
		c=getchar();
	}
	if(re==1)
		return (x+ls);
	else{
		return x;
    }
}
int main(){
    cin>>a>>m;
    ls=phi(m);
    b=read();
    cout<<po(a,b);
}

应用：幂塔取模

扩展欧拉定理常用于计算形如：

\[a^{a^{a^{\cdots}}} \mod m \]

（共 $ n $ 层）

方法：递归降模

定义函数 $ f(a, n, m) = a^{a{\cdots}} \mod m $（$ n $ 层）

利用扩展欧拉定理，递归地将模数变为 $ \varphi(m), \varphi(\varphi(m)), \ldots $，直到模数为 1。

递归步骤：

若 $ m = 1 $，返回 0
若 $ n = 1 $，返回 $ a \mod m $
计算 $ \varphi = \varphi(m) $
计算 $ t = f(a, n-1, \varphi) $
若 $ t < \varphi $，则结果为 $ a^t \mod m $
否则，结果为 $ a^{t + \varphi} \mod m $

莫比乌斯函数

定义

莫比乌斯函数的符号为 $μ$，通俗的来讲:

如果 $n=1$ ,$μ(n)=1$。
如果 $n$ 为质数，$μ(n)=-1$。
当 $n$ 的因数大于两个时，$μ(n)=(-1)^d$。其中 $d$ 为 $n$ 的因数个数。

如果前三条都不满足，$μ(n)=0$。

性质

莫比乌斯函数在n=1时 $\sum_{d|n}μ(d)$ 为1，其他时候为0。
若 $a,b$ 互质，则$μ(ab)=μ(a)*μ(b)$，所以莫比乌斯函数是积性函数。
对于任意整数 $n$，$\sum_{d|n}\frac{μ(d)}{d}=\frac{φ(n)}{n}$。

筛法

根据寄性函数性质，我们可以 $O(n)$ 筛出所有莫比乌斯函数值。


bool is_not_prime[1000000],primes[1000000],prime_num;
ll mu[1000000];//莫比乌斯函数值 
void find_mbws(){//阿里乌...呸，莫比乌斯 
	is_not_prime[0]=in_not_prime[1]=1;
	mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAXNUM;i++){
		if(!is_not_prime[i]){
			primes[++prime_sum]=i;
			mu[i]=-1;//质数，-1 
		} 
		for(int j=1;j<=prime_sum,primes[j]*i<=MAXNUM;j++){
			is_not_prime[primes[j]*i]=1;
			if(!(i%primes[j])){//确保有平方因子的数的莫比乌斯函数值为0
				break;
			}
			else{
				mu[primes[j]*i]=-mu[i];
			}
		}
	} 
}

整除分块（技巧）

求：

\[\sum^{n}_{i=1}\lfloor \frac{n}{i}\rfloor \]

不难发现，$\lfloor \frac{n}{i}\rfloor$ 会有很多重复的。

可以分析出，每一个值相同的块，右端点为$n/(n/i)$。

这样就可以 $O(\sqrt n)$ 解决此问题，在很多数论模块都能用到。

for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
    r=n/(n/l);
    ans+=(r-l+1)*(n/l);
}

卢卡斯定理

卢卡斯定理是组合数学中一个非常重要的定理，它用于计算大组合数取模的值，特别是当模数是一个不太大的质数时，它能将大问题分解为多个小问题，极大地简化计算。

定理内容

设 $p$ 是一个质数，将非负整数 $m$ 和 $n$ 用 $p$ 进制表示：

\[m = m_k p^k + m_{k-1} p^{k-1} + \cdots + m_1 p + m_0 \]

\[n = n_k p^k + n_{k-1} p^{k-1} + \cdots + n_1 p + n_0 \]

（如果位数不同，可以在前面补零使其位数一致）

那么有：

\[\binom{m}{n} \equiv \prod_{i=0}^{k} \binom{m_i}{n_i} \pmod{p} \]

其中，$\binom{m}{n}$ 是组合数。并且规定：如果 $n_i > m_i$，则 $\binom{m_i}{n_i} = 0$。

证明略。记住结论就好。

//卢卡斯定理
ll c(ll n,ll m){
    if(m>n){
        return 0;
    }
    return ((jc[n]*po(jc[n-m],mod-2))%mod*po(jc[m],mod-2))%mod;
}
ll lucas(ll n,ll m){
    if(m==0){
        return 1;
    }
    return c(n%mod,m%mod)*lucas(n/mod,m/mod)%mod;
}
int main(){
    ll t;
    cin>>t;
    while(t--){
        ll n,m;
        cin>>n>>m>>mod;
        jc[0]=1;
        for(int i=1;i<=100005;i++){
            jc[i]=(jc[i-1]*i)%mod;
        }
        //m>=n
        cout<<lucas(m,n)<<"\n";
    }
}

卡特兰数

定义

$C(n)$ 表示从原点出发，每次向 $x$ 或$y$ 轴正方向移动1单位，到达点 $(n,n)$，且在移动过程中不越过第一象限平分线的移动方案数。

推导

\[C(n) = \binom{2n}{n} - \binom{2n}{n+1} \]

\[C(i) = \frac{(4i-2)}{i+1} C(i-1), \quad C(0) = 1 \]

for(int i=1;i<=n;i++){
    C[i]=(C[i-1]*(4*i-2))%mod;
    C[i]=C[i]*po(i+1,mod-2)%mod;
}

卡特兰数前 $6$ 项：$1, 1, 2, 5, 14, 42$，可以背一下。

推广

当然，我们也可以从 $n*n$ 推广到 $n*m$。

显然，我们要从 $(0,0)$ 走到 $(n,m)$，而且不能走到对角线上。

我们看图：

显然，我们对称了之后，发现所有不和法的方案都可以和从 $(0,0)$ 到 $(n-1,m+1)$ 一一对应，也就是不合法的方案为：

\[\binom{n + m}{n - 1} \]

总方案为：

\[\binom{n + m}{n} - \binom{n + m}{n - 1} \]

posted @ 2025-08-07 15:04 MistyPost 阅读(14) 评论(0) 收藏举报

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