【题解】CCPC 2024 郑州站 C 中点

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CCPC 2024 郑州站 C 中点

题目大意

令初始集合为 \(S=\{(0, 0, ), (A, 0), (0, B), (A, B)\}\) 其中每个元素代表一个格点，每个格点的坐标都是整数，现允许通过以下操作扩展集合 \(S\) ：

• 选择 \(P, Q \in S\)， 若 \(P, Q\) 的中点也落在格点上时，把中点加入 \(S\) 。

现在问 \((X, Y)\) 是否能够被构造出来，如果可以，求出最少的步数与操作序列。

题目思路

二维的问题思考起来比较麻烦，我们可以现先考虑一维的，假设只有 \(X\) 这个维度。

显然，若 \(2^k | A\)， 那么 \(A/2^k\) 这个点是可以构造出来的，否则不行。
若有解，考虑一个最大的 \(k\) ， \(A/2^k | X\) 。因此，如果 \(X\) 可以被构造出来，那么 \(A/gcd(A, X) = 2^k\) ，基于此可以判断是否有解。

构造方法非常多，以下讲一种相对简单的。

要构造出 \({x_i}\)，需要两个父节点，我们假定其中一个必须是 \(0\) 或 \(A\) ，记为 \(cx_{i-1}\) 那么：

\[x_{i} = \frac{cx_{i-1} + x_{i-1}}{2} \]

即

\[x_{i-1} = 2x_{i} - cx_{i-1} \]

当 \(2x_i <= A\) 时，\(cx_{i-1}\) 取 \(0\)，否则得到负数没有意义；当\(2x_i > A\) 时，\(cx_{i-1}\) 取 \(A\) 否则超出范围没有意义。一路从 \(X\) 递推直到得到四个起始点中的一个，沿途记录 \(x_i\) 和 \(cx_{i}\)，倒序输出即可。

显然，上述操作保证了不会经过重复经过一个点，一定可以收敛于某个角落节点，且路径是最短的。有关为什么会想到这么构造，我其实没想到，赛场上我评价为“我们少了一个关键结论”，于是分了27类讨论没写完。

AC代码

#include <iostream>
using namespace std;

int gcd(int a, int b) {
    return b==0?a:gcd(b, a%b);
}

int ans[100][4];
int ncnt = 0;

int main() {
    int a, b, x, y;
    cin>>a>>b>>x>>y;

    int ga = gcd(a, x);
    int gb = gcd(b, y);

    if(ga !=0 && __builtin_popcount(a / ga) != 1 || gb !=0 && __builtin_popcount(b / gb) != 1) {
        cout<<-1<<endl;
        return 0;
    } else {
        while(!((x == 0 || x == a)&&(y==0 || y==b))) {
            int cx = x*2>a?a:0;
            int cy = y*2>b?b:0;
            x = x*2 - cx;
            y = y*2 - cy;
            ncnt++;
            ans[ncnt][0] = x;
            ans[ncnt][1] = y;
            ans[ncnt][2] = cx;
            ans[ncnt][3] = cy;
        }

        cout<<ncnt<<endl;
        for(int i=ncnt;i>=1;i--) {
            cout<<ans[i][0]<<" "<<ans[i][1]<<" "<<ans[i][2]<<" "<<ans[i][3]<<endl;
        }
    }
}

时间复杂度 \(O(log \ max(A, B))\)