poj 2891(一般模线性方程组)

//不满足除数两两互质。

 1 // File Name: 2891.cpp
 2 // Author: Missa_Chen
 3 // Created Time: 2013年06月01日 星期六 15时23分19秒
 4 
 5 #include<iostream>
 6 #include<string>
 7 #include<algorithm>
 8 #include<cstdio>
 9 #include<cstring>
10 #include<cmath>
11 #include<queue>
12 #include<map>
13 #include<stack>
14 #include<set>
15 #include<cstdlib>
16 
17 using namespace std;
18 
19 #define LL long long
20 const int inf = 0x3f3f3f3f;
21 const int maxn = 1e5 + 5;
22 int n;
23 void ex_gcd(LL a, LL b, LL &d, LL &x, LL &y)
24 {
25     if (!b) {d = a, x = 1, y = 0;}
26     else
27     {
28         ex_gcd(b, a % b, d, y, x);
29         y -= x * (a / b);
30     }
31 }
32 LL ex_crt(LL *m, LL *r, int n)
33 {
34     LL M = m[1], R = r[1], x, y, d;
35     for (int i = 2; i <= n; ++i)
36     {
37         ex_gcd(M, m[i], d, x, y);
38         if ((r[i] - R) % d) return -1;
39         x = (r[i] - R) / d * x % (m[i] / d);
40         R += x * M;
41         M = M / d * m[i];
42         R %= M;
43     }
44     return R > 0 ? R : R + M;
45 }
46 int main()
47 {
48     while (~scanf("%d",&n))
49     {
50         LL m[maxn], r[maxn];
51         for (int i = 1; i <= n; ++i)
52             scanf("%lld%lld", &m[i], & r[i]);
53         printf("%lld\n",ex_crt(m,r,n));
54     }
55     return 0;
56 }

转载:

/**********************一般模线性方程组***********************/

同样是求这个东西。。
X mod m1=r1
X mod m2=r2
...
...
...
X mod mn=rn

首先,我们看两个式子的情况
X mod m1=r1……………………………………………………………(1)
X mod m2=r2……………………………………………………………(2)
则有 
X=m1*k1+r1………………………………………………………………(*)
X=m2*k2+r2
那么 m1*k1+r1=m2*k2+r2
整理,得
m1*k1-m2*k2=r2-r1
令(a,b,x,y,m)=(m1,m2,k1,k2,r2-r1),原式变成
ax+by=m
熟悉吧?

此时,因为GCD(a,b)=1不一定成立,GCD(a,b) | m 也就不一定成立。所以应该先判 若 GCD(a,b) | m 不成立,则!!!方程无解!!!。
否则,继续往下。

解出(x,y),将k1=x反代回(*),得到X。
于是X就是这两个方程的一个特解,通解就是 X'=X+k*LCM(m1,m2)
这个式子再一变形,得 X' mod LCM(m1,m2)=X
这个方程一出来,说明我们实现了(1)(2)两个方程的合并。
令 M=LCM(m1,m2),R=r2-r1
就可将合并后的方程记为 X mod M = R。

然后,扩展到n个方程。
用合并后的方程再来和其他的方程按这样的方式进行合并,最后就能只剩下一个方程 X mod M=R,其中 M=LCM(m1,m2,...,mn)。
那么,X便是原模线性方程组的一个特解,通解为 X'=X+k*M。

如果,要得到X的最小正整数解,就还是原来那个方法:

X%=M;
if (X<0) X+=M;

这么一来~~大功告成~~

posted @ 2013-06-01 15:43 Missa 阅读(...) 评论(...) 编辑 收藏