[概率论与数理统计]常用一维分布

离散型分布

两点分布 （(0,1)分布）

\[P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k},k=0,1 \]

二项分布

\[X\sim B(n,p) \]

\[P\{X=k\}=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k},k=0,1,2,...,n \]

几何分布

\[X\sim Ge(p) \]

\[P\{X=k\}=pq^{k-1},k=1,2,... \]

负二项分布（帕斯卡分布）

\[X\sim Nb(r,p) \]

\[P\{X=k\}=\binom{k-1}{r-1}p^r(1-p)^{k-r},k=r,r+1,r+2,... \]

泊松分布

\[X\sim \pi (\lambda) \]

\[P\{X=k\}=\frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!},k=1,2,... \]

超几何分布

\[X\sim h(n,N,M) \]

\[P\{X=k\}=\frac{\binom{M}{k}\binom{N-M}{n-k}}{\binom{N}{n}},k=0,1,2,...,min\{n,M\} \]

连续型分布

我们设 \(f(x)\) 为概率密度

均匀分布

\[X\sim U(a,b) \]

\[f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac1{b-a}&a\le x \le b\\ 0&其他 \end{matrix}\right. \]

\[P\{c<X\le c+l\}=\frac{l}{b-a} \]

指数分布

\[X\sim Exp(\alpha) \]

\[f(x)=\left\{\begin{matrix} \alpha e^{-\alpha x}&x\ge 0\\ 0&x<0 \end{matrix}\right. \]

\[P\{a<X\le b\}=\int_{a}^{b}\alpha e^{-\alpha x}dx \]

正态分布

\[X\sim N(\mu,\sigma ^2) \]

\[f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma}}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma ^2}},-\infty <x<\infty \]

特别的，当 \(\mu=1,\sigma =0\) 时，称 \(N(0,1)\) 为标准正态分布，标准正态分布的概率密度函数为：

\[\varphi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}},-\infty <x<\infty \]

相应的分布函数为：

\[\Phi (x)=\int_{-\infty }^{x} \varphi (t)dt= \int_{-\infty }^{x} \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \]