程序设计竞赛中常见二进制的数学特性与应用技巧总结

前言

本文会主要收录在程序设计竞赛中常见的二进制数学特性，以个人视角按出现频率或重要程度排序。
如有补充欢迎评论。
参考了一些二进制数的特性 - Hozenplotz，致谢。
二进制真的好神奇好神奇。

特性

1. n << 1 等于 n *= 2
2. n >> 1 等于 n /= 2 (\(n>=0\))
3. n & 1 为 \(True\) 则为奇数，反之为偶数。
4. n & 1 为 \(True\) 时说明二进制最低位为 \(1\)，反之为 \(0\)。
5. 1 << n 等于 pow(2, n)(\(2^n\))，且远快于后者。
6. 如果一个二进制数的低端 \(n\) 位都是 \(0\)，那么这个数就可以被 \(2n\) 整除。
7. 如果一个二进制数的第 \(n\) 位是 \(1\)，其他各位都是 \(0\)，那么这个数等于 \(2n\)。
8. 相应的，如果一个二进制数的第 \(0\) 位到第 \(n\) 位都是 \(1\)，而其他各位都是 \(0\)，那么这个数等于 \(2n-1\)。
9. \(n\) 位二进制数有 \(2 ^ n\) 个不同的组合可能。

应用技巧

1. 遇到需要 pow(2, n) 的时候，用 1 << n，就算你开了 -O2。
2. __builtin_popcount(x)可以高效计算 x 的二进制中 1 的个数。
3. a & b 可以判断 \(a\) 和 \(b\) 有哪些位数同为 \(1\)，配合上 __builtin_popcount() 会很爽。
4. \(1<<n-1\) 是 \(n\) 位全是1的二进制数。注意有 \(-1\)。