XYD-省选 | 思维题

CF2062C Cirno and Operations

由于差分的特性，所以要么反翻转一次，要么不翻转。翻转更多次效果是等效的。

翻转一次就等价于最后差分出来的取相反数。于是直接暴力模拟即可。

QOJ9980. Boolean Function Reconstruction

有解的充要条件是对于 \(\forall T\subset S\)，\(f(T)\le f(S)\)。

首先我们可以找到所有满足 \(f(S)=1\) 的 \(S\)，将其中 \(x_i=1\) 的变量与起来。对于所有表达式或起来。这样子长度是 \(O(n2^n)\) 的。

由于按位与和按位或运算的特殊性，对于 \(S\)，若 \(f(S)=T\)，那么其超集肯定为真。

我们只需要高维前缀和统计一下，找到最小的一些 \(S\)，其个数最多是 \(15\choose 7\) 的级别。这个时候暴力构造可以做到 \(O(n{n\choose n/2})\)，还是不行。

可以发现上述做法浪费了一些公共部分，于是我们对于所有变量找到其公共部分，对于含它的放在一起，不含的放在另一侧进行构造。比如对于包含 \(x_1\) 表达式 \(f_1\) 和不包含 \(x_1\) 的表达式 \(f_2\)。我们就是可以列出 \((x_1~\mathrm{and}~f_1)~\mathrm{or}~f_2\) 这样子的结构，然后在 \(f_1\) 和 \(f_2\) 内部分别对于 \(x_2\) 进行如上处理。这个过程可以在字典树上面完成。

P7738 [NOI2021] 量子通信

注意到 \(256=16^2\)，直接划分成 \(16\) 份。\(k_i\le 15\)，根据抽屉原理一定有一个公共块，直接暴力寻找然后枚举判断即可。其中单个块内期望个数是 \(\dfrac{n}{2^{16}}\)。

CF1758D Range = √Sum

\(\sqrt {f^2(n)}\)，取 \(f(n)=n+1\) 是可以直接构造的，\(2n\) 也可以。

构造初始序列 \(1,2,3..,n\) 之后，调整法。令 \(n\to n+2\)，为了保持极差于是可以整体 \(+1\) 和后缀（除了最后一个数） \(+1\)。通过这些调整使得和变成 \((n+1)^2\) 即可。

P6776 [NOI2020] 超现实树

只需要判定一条无限长的链的存在性。

假设在右子树内，如果左子树为空的话直接递归，否则必须只有一个点，不然的话可以构造出一个左边多一个无法加的点，右边不断伸长的链，这样子就不合法了。于是我们把给的 \(m\) 颗树重新编号成为一种编号方式的树。然后遍历每个节点判定即可。

P7736 [NOI2021] 路径交点

对于 \(k=2\) 的时候，首先两两匹配可以看成排列。交点个数其实就是 \(p_i\) 排列逆序对数量，奇数 \(-1\)，偶数 \(+1\)，可以发现这个和行列式定义一样，于是直接对于邻接矩阵求一个行列式，也就是 \(\det(A)\)。

对于 \(n_1=n_i\) 的时候，可以直接把求出相邻两列的行列式，然后再相乘，也就是 \(\prod \det(A)\)。因为偶数贡献 \(+1\)，奇数贡献 \(-1\)，两个奇数遇到就会变成偶数，其贡献也会变成 \((-1)\times (-1)=1\)，因此上述按照贡献法是对的。

对于一般情况就不是排列了，也不是 \(n\times n\) 的矩阵了。其实很容易猜到就是先 \(\prod A\)，将其变成 \(n\times n\) 的矩阵，然后再求 \(\det\)。至于证明的话，就是 \(\prod A\) 中 \((i,j)\) 就是第一列的 \(i\to\) 最后一列的 \(j\) 的路径方案数。而且还自动满足了路径不能重合这个条件，因为重合路径的逆序对差为 \(1\)，就抵消了。

ARC106E Medals

二分答案之后是一个二分图匹配。

有一个很重要的观察就是答案不会超过 \(2nk\)。

直接上 Hall 定理，直接高维前缀和判定一下就行了。注意判定的时候，交难求，正难则反一下变成并就很好做了。

P8991 [北大集训 2021] 出题高手

利用前缀和转化，设前缀和序列为 \(S\)。那么对于一个 \(S_r\)，贪心来想其可能的 \(S_{l-1}\) 必然是一个后缀 \(\min\)（不妨设 \(S_r>S_{l-1}\)）。于是我们放到单调栈里面求解，随机序列前缀和的后缀 \(\min\) 个数大概是 \(O(\sqrt n)\) 级别的，这样子可以大幅减少可能的状态数。

同时因为是随机情况，所以可以发现可能作为答案的区间长度必然不会太长，取阈值为 \(B=2000\) 即可。以上两个优化可以将可能区间个数大幅降低。

然后就是一个单点加，矩阵求 \(\max\) 了。可以扫描线 \(+\) 树状数组解决。这样子在 \(\sqrt n\) 的基础上带一个 \(\log\)。也可以分块求解，这样子 \(O(1)\) 修改，\(O(\sqrt n)\) 查询就实现了平衡。

QOJ5061. Allin

由于有 \(4\) 张未知牌，所以手中至少是炸弹。进一步分析其实是必须有同花顺。

剩下同花顺对于已经显示的 \(5\) 张牌就有要求了。对于十几种情况进行暴力讨论一下就行了。

UOJ75.智商锁

可以用矩阵树定理算出 \(G\) 的生成树个数 \(f(G)\)。

将两个图拼接起来个数就是 \(f(G_1)\times f(G_2)\)。我们随机 \(5000\) 个大小为 \(20\) 的图，两两拼接之后再两两组合，第一次直接暴力枚举，第二次用哈希表寻找。

ZJU 整洁度

对于两个串，其整洁度为最长公共 border 的长度。求一个串的所有前缀任意排列之后，相邻整洁度之和。同时有 \(m\) 次修改，每次在末尾添加或者删除字符。\(n,m\le 5\times 10^5。\)

第一步是很显然的转化，就是离线求出 fail 树上 LCA 深度之和。

如何重排？有一个结论就是按照 dfs 序重排就是最优的。

直接按照 P3320 [SDOI2015] 寻宝游戏 里面的方法用 std::set 维护 dfs 序即可，可以支持动态维护。

动态加减字符可能会让复杂度爆掉，我们直接建立 KMP 自动机就行了。

P6113 【模板】一般图最大匹配

存在线性代数做法。假如存在边 \(i\to j\)，我们就在对应位置填上 \(x_{i,j}\)，在对称位置填上 \(-x_{i,j}\)。

求一下行列式，如果存在完美匹配，那么 \(\det(A)\neq 0\)。证明就是对于奇偶环讨论一下，然后会消掉的。

推论是最大匹配数就是 \(\dfrac{\mathrm{rank(A)}}{2}\)，高斯消元可解。

其中随机数 \(x_{i,j}\in [0,P-1]\)，在模 \(P\) 的意义下求解。

对于多项式 \(\sum a_ix^i\equiv 0\pmod P\)，错误率是 \(\dfrac{n}{P}\)。