KMP 模式串匹配 失去匹配的瞬间你还有什么

KMP：

KMP算法是一种改进的字符串匹配算法，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现，因此人们称它为克努特——莫里斯——普拉特操作（简称KMP算法）。KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个next()函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。时间复杂度O(m+n)。

——百度百科。

自我理解：

kmp算法最最最最核心的思想，就是在每一次失去匹配的时候，找到最大的可能能够匹配的子段进行匹配。

也就是著名的nxt数组。

 

算法流程：

数组只介绍一个nxt数组。nxt[i]表示，从1~i前缀S中，最长的前缀等于后缀的长度（不能是S）。

在每次失去匹配的时候，因为上次已经能够匹配到j了，所以1~j和 i-j~i-1 是相等的。

所以我们让j=nxt[j]的时候，根据定义，1~nxt[j] = j-nxt[j]+1~j , 又因为：1~j = i-j~i-1 所以 j-nxt[j]+1 ~ j = i-nxt[j] ~ i-1

这样，我们退一步到nxt，可以找到失去匹配后，最大的可能再次匹配上的字段长度nxt[j]

 

代码实现：

void kmp(){
    nxt[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=l2;i++){
        while(j>0&&b[i]!=b[j+1]) j=nxt[j];
        if(b[i]==b[j+1]) j++;
        nxt[i]=j;
    }
}

下面这里还加上了f数组，f[i]表示，在a串中，以第i位结尾的所有子串，和b串的前缀最大匹配的长度。

转移是类似的。

void fin(){
    for(int i=1,j=0;i<=l1;i++){
        while(j>0&&(j==l2||a[i]!=b[j+1])) j=nxt[j];
        if(a[i]==b[j+1]) j++;
        f[i]=j;
        if(f[i]==l2){
            printf("%d\n",i-l2+1);
        }
    }
}

这样就可以求出模式串在原始串中出现的位置和个数了。

 

应用:

1.模式串在主串中出现的次数。见上述代码。
2.求一个串的循环节：
长度为n的字符串的最短循环节是：n-nxt[n],（可以证明：1.可以循环 2.是最短的）

当n%(n-nxt[n])等于0的时候，字符串是一个循环字符串。最长循环次数为：n/(n-nxt[n])

 

应用例题：

T1：NOI2014 动物园

这个题考察S的前缀中，处理不重叠前缀等于后缀的数量。

可以先求出重叠的nxt[i],num1[]

在处理不重叠的num2[]的时候，跳nxt[j]的时候，跳跃不停止的条件加上一个2*j>i还要跳，因为不能重叠。

跳完后，判断能否加1，如果2*j>i再跳一次。（WA了。。。）

最后，num2[i]=num1[j]+1 注意，这里一定是num1，也就是可重叠的。因为2*j<=i，所以，j中重叠是没有关系的。（WA了。。。）

加一表示1~j和i-j+1~i也是一个。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1000000+10;
const int mod=1e9+7;
int nxt1[N],nxt2[N],num1[N],num2[N];//1: can    2: can't folded
char a[N];
int l;
ll ans;
void kmp1(){
    nxt1[1]=0,num1[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=l;i++){
        while(j&&a[i]!=a[j+1]) j=nxt1[j];
        if(a[i]==a[j+1]) j++;
        nxt1[i]=j;
        if(nxt1[i]) num1[i]=num1[j]+1;      
    }
}
void kmp2(){
    nxt2[1]=0;num2[1]=0;
    for(int i=2,j=0;i<=l;i++){
        while(j&&(2*j>i||a[i]!=a[j+1])) j=nxt1[j];//warning!!
        if(a[i]==a[j+1]) j++;
        if(2*j>i) j=nxt1[j];//warning!!
        nxt2[i]=j;
        if(nxt2[i]) num2[i]=num1[j]+1;     
    }
}
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    while(n--){
        scanf("%s",a+1);
        ans=1;
        l=strlen(a+1);
        kmp1();
        kmp2();
        for(int i=1;i<=l;i++){
            ans=(ans*((ll)1+num2[i]))%mod;
        }
        printf("%lld\n",ans);
        memset(num1,0,sizeof num1);
        memset(num2,0,sizeof num2);
    }    
    return 0;
}

 

T2：bzoj4641 基因改造