洛谷P1595 信封问题

题目大意：

某人写了n封信和n个信封，如果所有的信都装错了信封。求所有信都装错信封共有多少种不同情况。

分析：

方法一：递推

已经处理了f[0]~f[n-1],考虑f[n],新来了一个数n，这个数要放错位，有n-1种情况。其他的数的放置每次都有f[n-1]种情况，被n占用位置的数k，将k放在n位置，可以再多出f[n-2]种情况。

证明：可以将n位置想成是一个k的原位置，由于之前f[n-1]种情况中，不会出现让k在原位置的情况，所以现在把k放在这个n的“新”原位置上，不会将方案数重复计算。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long f[30];
int n;
int main(){
    cin>>n;
    f[0]=1;
    f[1]=0;
    for(int i=2;i<=n;i++)
     f[i]=(i-1)*(f[i-1]+f[i-2]);
    cout<<f[n];
    return 0;
}

方法二：容斥

首先有n!种排列，减去单个信放正确的情况，每个有(n-1)!种，但是每2个信封被放重复的情况多减了，所以再加回来。再减去3个，加上4个...

dfs容斥。预处理阶乘

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long fac[30];
int n;
long long ans;
void dfs(int x,int k)
{
    if(x==n+1)
    {
        if(k&1) ans-=fac[n-k];
        else ans+=fac[n-k];
        return;
    }
    dfs(x+1,k);
    dfs(x+1,k+1);
}
int main()
{
    cin>>n;
    fac[0]=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
     fac[i]=fac[i-1]*i;
    dfs(1,0);
    cout<<ans;
    return 0;
}