KM算法 O(n^3)最大权完美匹配

https://blog.csdn.net/sixdaycoder/article/details/47720471

https://www.luogu.com.cn/blog/SingerCoder/solution-p6577

bfs匈牙利+顶标限制

1.初始化建边，邻接矩阵。没有的边设置为-inf（题目为求最大权完美匹配）

2.对于左部点每一个点，依次努力配对

3.如果在子图中配对成功，则完成配对，直接返回2.

4.否则，修改顶标，返回3.

5.输出答案

Luogu6577

#include<bits/stdc++.h>
#define reg int
#define il inline
#define fi first
#define se second
#define mk(a,b) make_pair(a,b)
#define numb (ch^'0')
#define pb push_back
#define solid const auto &
#define enter cout<<endl
#define pii pair<int,int>
using namespace std;
typedef long long ll;
template<class T>il void rd(T &x){
char ch;x=0;bool fl=false;while(!isdigit(ch=getchar()))(ch=='-')&&(fl=true);
for(x=numb;isdigit(ch=getchar());x=x*10+numb);(fl==true)&&(x=-x);}
template<class T>il void output(T x){if(x/10)output(x/10);putchar(x%10+'0');}
template<class T>il void ot(T x){if(x<0) putchar('-'),x=-x;output(x);putchar(' ');}
template<class T>il void prt(T a[],int st,int nd){for(reg i=st;i<=nd;++i) ot(a[i]);putchar('\n');}
namespace Modulo{
const int mod=998244353;
il int ad(int x,int y){return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;}
il int sub(int x,int y){return ad(x,mod-y);}
il int mul(int x,int y){return (ll)x*y%mod;}
il void inc2(int &x,int y){x=mul(x,y);}
il int qm(int x,int y=mod-2){int ret=1;while(y){if(y&1) ret=mul(x,ret);x=mul(x,x);y>>=1;}return ret;}
template<class ...Args>il int mul(const int a,const int b,const Args &...args) {return mul(mul(a,b),args...);}
}
//using namespace Modulo;
namespace Miracle{
const int MAXN=510;
const ll inf=0x3f3f3f3f3f3f3f3f;
int n,m;
ll e[MAXN][MAXN];

ll lx[MAXN],ly[MAXN],slack[MAXN];
int px[MAXN],py[MAXN],pre[MAXN];
bool vx[MAXN],vy[MAXN];

queue<int> q;
void aug(int v)
{
int t;
while(v)
{
t=px[pre[v]];
px[pre[v]]=v;
py[v]=pre[v];
v=t;
}
}
void bfs(int s)
{
memset(vx,0,sizeof(vx));
memset(vy,0,sizeof(vy));
fill(slack+1,slack+n+1,inf);

while(!q.empty())q.pop();
q.push(s);

while(1)
{
while(!q.empty())
{
int u=q.front();q.pop();
vx[u]=1;
for(int i=1;i<=n;++i)if(!vy[i])
{
if(lx[u]+ly[i]-e[u][i]<slack[i])
{
slack[i]=lx[u]+ly[i]-e[u][i];
pre[i]=u;
if(slack[i]==0)
{
vy[i]=1;
if(!py[i]){aug(i);return;}
else q.push(py[i]);
}
}
}
}
ll d=inf;
for(int i=1;i<=n;++i)if(!vy[i])d=min(d,slack[i]);
for(int i=1;i<=n;++i)
{
if(vx[i])lx[i]-=d;
if(vy[i])ly[i]+=d;else slack[i]-=d;
}
for(int i=1;i<=n;++i)if(!vy[i])
{
if(slack[i]==0)
{
vy[i]=1;
if(!py[i]){aug(i);return;}
else q.push(py[i]);
}
}
}
}

signed main()
{
cin>>n>>m;
memset(e,0xcf,sizeof e);
int x,y,z;
for(int i=1;i<=m;++i){
rd(x);rd(y);rd(z);
e[x][y]=z;
}
for(int i=1;i<=n;++i){
for(int j=1;j<=n;++j){
lx[i]=max(lx[i],e[i][j]);
}
}
for(int i=1;i<=n;++i)bfs(i);
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;++i){
ans+=e[py[i]][i];
}
cout<<ans<<endl;
for(int i=1;i<=n;++i){
printf("%d ",py[i]);
}
return 0;
}

}
signed main(){
Miracle::main();
return 0;
}

/*
Author: *Miracle*
*/

1.判断是否可能没有完美匹配？

跑KM，如果选了-inf边（不存在的边）就无解（和网络流判无解类似）

2.保证最大权即可，不是最大匹配也行？

不存在的边设边权为0，跑KM

3.最大权匹配（可能没有完美匹配）

右部点额外建n个虚点，每个左部点依次对应虚点连-inf边

4.求最小权

边权取负即可

posted @ 2021-08-03 22:51  *Miracle*  阅读(61)  评论(0编辑  收藏  举报