[学习笔记]博弈论
nim游戏
公平组合游戏
就是一般的博弈，先手后手选择相同、交替行动，正负判定是能不能动为准。
SG函数
对于单独的游戏，0/1足以表示必胜必败态
SG函数主要处理多个游戏组合起来，即公平组合游戏
SG函数xor值为0,必败，否则必胜
SG函数定义为所有后继状态的mex值
其实只要规定好终态SG函数并且方便转移，公平组合游戏都可以用SG函数刻画
Every-SG 游戏
每个子游戏必须同时进行的组合游戏。
一个DAG上有多个棋子，每次选择所有能移动的棋子沿着有向边移动。
谁不能移动了谁输。
（最后一个棋子归位才是关键）
直观上感觉，要将必胜态保持更长，要将必败态保持更短
先找出必胜必败态，
当前是必胜态，D(T)=max(D(T'))+1
当前是必败态，D(T)=min(D(T'))+1
---------------------------------------------------------------------------------upda：2020.9.20
这个算法好像假了
直接用sg函数搞掉就行了。
无非就是把取数形象化了。
混合博弈
根据当前情况以一定概率决策
混合策略游戏
大概决策如下两种：
真诚（问自己没有的）欺骗（问自己有的）
再考虑对方“认为你真诚”，“认为你虚假”，做出的决策和你获胜的关系，
T-T:m/(m+1)(1-f(m-1,n))
T-F:1/(m+1)+m/(m+1)*(1-f(m-1,n))
F-T:1
F-F:1-f(m,n-1)
推出式子，求交点
假如以先手以P概率真诚，
最大化：
max(min(pm/(m+1)*(1-f(m-1,n))+(1-p),p/(m+1)+p*m/(m+1)(1-f(m-1,n))+(1-p)(1-f(m,n-1)))
f(m-1,n)和f(m,n-1)递归下去，
P是横坐标的话，
其实就是，两个直线求交点，横坐标的概率就是最优决策了，由最高处的纵坐标，再得到获胜的概率
