来自多校的一个题——数位DP+卡位

n<=1e9就要考虑倍增、矩阵乘法这种了

 

假设L=0

考虑枚举二进制下,所有X与R的LCP长度,前len高位

对于第len+1位,假设R的这一位是1

如果一个x的这一位是0了,那么后面可以随便填

我们就钦定一个len+1位是0的x0来挽救,别的随便填,最后距离K差多少,就让这个x0来变成这个数

而且,为了不重不漏,len必须是这些x的“LCP”,所以必须有两个x第len+1位不同(所以其实R的len位是0的len可以直接跳过没有意义)

外层枚举LCP,内层我们DP:

f[i][0/1][0/1]前i个x,第len+1位的xor是多少,有没有一个x第len+1位是0

转移:

对于x第len+1位是0:

  f[i+1][t][1]<- f[i][t][1]*(1<<(blabla))+f[i][t][0](如果原来没有len+1位是0的,就让这个来充当最后挽救的,只有一种选择,所以边权是1)

否则:

  f[i+1][t^1][1]<-f[i][t][1]*(blabla)

  f[i+1][t^1][0]<-.......................同上

矩阵快速幂即可

当然还要判断前len位都是卡着R,所以R的前len位n次xor起来必须是K的高位部分

 

有L呢?

首先,对于LCP(L,R)=T,所有的x都是一样的

之后第T+1位,L=0,R=1,如果x选择0,那么上界就不存在了卡L走,否则下界不存在了卡R走

当再次和“界”不同的时候,x就“自由”了

所以,枚举所有x中"第一个自由的x自由的位置len(从高到低)"以此统计答案

内层DP:

f[i][0/1][0/1][0/1]

前i个x,奇数/偶数个上界(为了最后统计能不能到K),自由那一位的xor是0/1,有没有一个x自由了

转移同理。矩阵乘法

 

 

总结:

在二进制的运算下,不光比较大小简单,而且不进位,所以高位枚举LCP就是很好的方法。

而数据有上下界,卡位使得可以“自由”,“自由”后就随便填了

最后留下一个x挽救,使得能够存在一种可以xor出K的方案!

 

还有一个简单点的:
WinterAndSnowmen

 

posted @ 2019-02-18 11:09  *Miracle*  阅读(211)  评论(0编辑  收藏  举报