【学习笔记】网络流进阶
15.网络流
杂七杂八
可行流即满足三大约束（容量限制，流量守恒，斜对称性）的流
流网络->流矩阵
残量网络->残量矩阵
网络与矩阵满足双射关系，故可以从矩阵角度分析网络流
增广路径定理（引理）
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残量流叠加引理：原始网络中的一个合法流 \(f\)，加上其残留网络 \(G_f\) 中的任意一个合法流 \(g\)，叠加后仍然是原始网络 \(G\) 中的一个合法流。
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残量路径增广引理：\(𝑝_𝑃\) 是流值为 \(𝛿\) 的可行残量流；因此 \(𝑓 + 𝑝_𝑃\) 是可行流，且 \(|𝑓 + 𝑝𝑃 | = |𝑓| + 𝛿\)。
以上引理引出了网络流算法
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增广路判定定理：可行流 𝑓 是最大流，当且仅当其残量网络不存在 𝑠-𝑡 路径。
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最大流最小割定理：最大流值等于最小割容量。
流分解
流分解定理：任意满足 \(|𝑓| ≥ 0\) 的可行流 \(𝑓\) 都能分解成若干条总流量为 \(|𝑓|\) 的 \(𝑠-𝑡\) 路径流与若干循环流。
循环流是指不与s和t链接的可行流，它满足三大限制，但是对于最大流算法无用，所以dinic给他忽略了，但是客观上是存在的
增广路径是合成，而流分解是拆分
平面图与最小割
- 平面割与对偶路径定理：原图最小 \(𝑠-𝑡\) 割的容量等于对偶图中 \(𝑠∗\) 到 \(𝑡∗\) 的最短路长度。
最小割树
最小割树定理：对于任意一个带非负权重的无向图 G，都存在一棵带权树 T（即Gomory-Hu树），使得树 T 上任意两点间路径上的最小边权，等于在原图 G 中这两点间的最小割值
最小割树收缩引理：若 \(cut(u,v)\) 将图分为 \(U\) 和 \(V\) 两部分，则任意 \(x \in U, y \in V\) 有 \(|cut(x,y)|<=|cut(u,v)|\)
Gomory–Hu 构造定理：在一张图上选取(u,v)跑网络流，最小割权值作为边权，将图割开，分治（表述不太规范）。
割等价性：对于树上的两点u,v，他们的最小割是他们之间简单路径的最小路径权值。
Dinic
阻塞流：当前分层图下的局部最大流
时间复杂度 \(O(V^2E)\)，这是一个很松的上界
当 \(V≥5000\) 且 \(E≥10000\) 时，心里要敲一下警钟，考虑一图是不是太密了；但如果 \(V≤1000\)，无论怎么建图，Dinic 都能轻松拿下。
Dinic二分图匹配复杂度为 \(O(E\sqrt V)\)
费用流
SSP+SPFA
\(O(n*m*f)\)
SSP+Dijkstra(Primal-Dual 原始对偶算法)
这是SPFA的优化版本，通过势能（Potential）函数将负权边转为非负，从而使用更快的Dijkstra算法
\(O(f * m * log n)\)
模拟费用流
模拟费用流AGC034D：即模拟费用流过程，优化边数
16.点覆盖与独立集
互补性：一个点集是点覆盖，当且仅当它的补集是独立集。
极值对偶性：最小点覆盖的补集，一定是最大独立集。
17.二元代价的割
与S，T联通决定属性
按照逻辑建图
P2774，CF311E
总数减去最小割（建图按照逻辑顺序）
18.最大权闭合
若选择对象 \(u\) 会强制选择 \(v\)，则合法集合满足 \(u∈S⇒v∈S\) ；所有蕴含形成有向图，合法集合对后继闭合。目标是最大化所选点权和。
19.切糕模型（❌️）
限制1: \(𝑥_𝑢 ≤ 𝑥_𝑣 + 𝑤\)
对每个 \(1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑚 − 𝑤\)，连接 \(𝑝_{𝑢,𝑟+𝑤} → 𝑝_{𝑣,𝑟}\)
容量为 +∞。
限制2: \(𝑥_𝑢 >= 𝑥_𝑣 + 𝑤\)
对每个 \(1 ≤ 𝑟 ≤ 𝑚 − 𝑤\)，连接 \(𝑝_{v,𝑟} → 𝑝_{u,𝑟+w}\)
容量为 +∞。
他们其实就是把加边的方向变了一下
29.带点供需的费用流
通过手动构造超级源点 S' 和超级汇点 T' 并添加边，来将原问题转化为一个标准的、所有中间节点都满足流量守恒的费用流问题
21.模拟费用流
用反悔贪心模拟费用流退流的过程，以达到加速的目的
P3620
22.上下界网络流
无源汇上下界可行流
填下界，改变容量限制，此时为带供需的图，建S'，T'连边，判断能否满足供需
有源汇上下界最大流和最小流
加入容量 +∞ 的 𝑡 → 𝑠，再做无源汇可行流。设辅助边流量为 𝐹0；
删除超级结构与辅助边后：
• 最大流：残量网络求 𝑠 到 𝑡 的最大流 Δ，答案为 𝐹0 + Δ；
• 最小流：残量网络求 𝑡 到 𝑠 的最大流 Δ，答案为 𝐹0 − Δ。
即先按照无源汇上下界可行流的方式，求出图的基本流，保证其守恒，然后再在原图上跑最大流，拼接
若边有费用，先计入下界的固定费用，自由边保留原费用，超级边费用为 0；再发送 𝐷 单位最小费用流。
浙公网安备 33010602011771号