【学习笔记】数学黑科技

贝尔级数：加速狄利克雷卷积

数论分块筛：整数分块

阶

给定互质的 a 和 m，满足 a^d ≡ 1 (mod m) 的最小正整数 d，就是 a 模 m 的阶。

直观理解：你在模 m 的乘法群里走，走多少步会回到原点（1）。

重要性质：d 必然整除 φ(m)（欧拉函数）。这一点是后续“原根存在性”的判定依据。

原根

如果某个数 g 模 m 的阶恰好等于 φ(m)，那么 g 就是模 m 的原根。

降维打击：一旦找到原根 g，模 m 下的所有与 m 互质的数，都可以唯一写成 g^k 的形式。这意味着把复杂的乘法运算，转化成了简单的指数加法（即对数运算）。

存在条件：只有 m = 2, 4, p^k, 2p^k（p 为奇素数）时有原根。大部分算法竞赛题都直接卡在奇素数 p 上，因为这时乘法群是循环群。

拉格朗日插值

这是一个多项式技术，是解决数论求和问题的最强外挂。

幂塔

也叫迭代幂次（Tetration），可以理解为“不断取幂”的运算。

幂塔的记法：一个拥有 n 层、底数为 a 的幂塔，可以记为：

高德纳箭头：a ↑↑ n

标准数学符号：ⁿa

右结合

求幂塔需要用到欧拉降幂

库默尔定理

提供了一个计算二项式系数 \(n+m \choose n\) 能被某个素数 \(p\) 整除的“最高次幂”的方法

\(n+m \choose n\) 中含素数 \(p\) 的幂次，恰好等于在 \(p\) 进制下计算 \(m+n\) 时发生的进位次数

拉格朗日插值法

通过点值表示法，n^2计算高阶函数x=k时的值

根据因式定理，转成同余方程组形式，CRT求解