【学习笔记】Border理论

非常好的border理论笔记

• 如果一个长度为 \(n\) 的字符串 \(S\) 有一个长度为 \(L\) 的Border，那么 \(n - L\) 就是 \(S\) 的一个周期。

• \(border(S)=border(maxbd(S))+maxbd(S)\) ，表集合

• 对于每个 \(u\)，连边 \(u->π(u)\)，就成了 border 树（或者叫失配树）. \(π(u)\) 是 \(u\) 的最长border

上面的东西显而易见

弱周期定理

一个字符串 \(S\)，若其有长度为 \(p\) 和 \(q\) 的周期，且 \(p+q≤|S|\)，则 \(S\) 有长度为 \(gcd(p,q)\) 的周期 .

根据周期定义和更相减损术证明

强周期定理

一个字符串 \(S\)，若其有长度为 \(p\) 和 \(q\) 的周期，且 \(p+q−gcd(p,q)≤|S|\)，则 \(S\) 有长度为 \(gcd(p,q)\) 的周期 .

border理论核心推论

一个字符串的所有Border在长度上可以被划分为 \(O(\log n)\) 个等差数列

准确来说，将所有 Border 按其二进制最高位进行分段，每一段内的 Border 都构成一个等差数列