【学习笔记】容斥原理

广义上，我们常把‘排除不符合项’都泛称为容斥思想，但严格意义上的容斥原理特指对交集进行修正的加加减减。

当集合数量 \(n≥3\) 时，展开式呈现多轮正负交替，这便是‘多步容斥’名称的由来。

而仅有单个交集项的二元情形，则可视作容斥的最简形式，不纳入多步范畴。

而本文仅讨论多步容斥

1.【定义】

1.1【容斥原理】

本质是：

\([n=0]=\sum_{i=0}^{n}(-1)^i\binom{n}{i} \iff [S=\emptyset]=\sum_{T \subseteq S}(-1)^{|T|}\)

\([n>=1]=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+1}\binom{n}{i} \iff [S \neq \emptyset]=\sum_{\emptyset \neq T \subseteq S}(-1)^{|T|+1}\)

因此可以导出我们的处理⽅法：把禁⽌违反规则改为钦定违反了哪⼏条规则，并赋以 \((-1)^K\)（假设违反了 \(k\) 条规则）的容斥系数。

2.1【二项式反演】

\(g(n) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} f(i) \iff f(n) = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom{n}{i} g(i)\)

\(g(n) = \sum_{i=n}^N \binom{i}{n} f(i) \iff f(n) = \sum_{i=n}^N (-1)^{i-n} \binom{i}{n} g(i)\)

2.【容斥分类】

2.1【经典容斥】

求并集或者并集补集

并集由交集表示，也可以被认为一个性质都不满足的方案数

其核心是二项式定理的应用，也可以理解成广义容斥的特殊形式

2.2【广义容斥】

求“恰好满足t个性质”

本质是二项式反演

2.3【对偶容斥】

名字是我瞎起的，这类容斥和上面两类容斥没什么关系

其应用于LGV引理的证明中，有一组不合法路径，其方案数相同，我们设计容斥系数使之相互抵消

合法路径不与任何其他路径成对偶

3.【一些其他容斥】

3.1【Min-Max容斥】

【基本形式】

对于任意有限集合 \(S = \{a_1, a_2, \dots, a_n\}\)，min-max 容斥建立了最大值与最小值之间的互化关系：

\[\max(S) = \sum_{\emptyset \ne T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} \min(T) \]

其对偶形式为：

\[\min(S) = \sum_{\emptyset \ne T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} \max(T) \]

【期望意义下的推广】

min-max 容斥最重要的性质是它在期望意义下仍然成立，即：

\[E[\max(S)] = \sum_{\emptyset \ne T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} E[\min(T)] \]

\[E[\min(S)] = \sum_{\emptyset \ne T \subseteq S} (-1)^{|T|+1} E[\max(T)] \]

这一性质使得我们可以将“所有事件都发生”的期望等待时间（最大值）转化为“某个子集中至少有一件发生”的期望等待时间（最小值），后者往往更容易计算。该技巧在随机游走、按位或（OR）期望时间、概率图论等领域有广泛应用。

4.【EX】

不定方程非负整数解计数（有上界容斥）

树上容斥dp（加速容斥）P12639 [UOI 2020] Topological Sorting of a Tree